3 questions de proba qui se ressemblent

[ChrisAtari]

Bonjour

J’aimerais savoir les différences de calcul qu’il faut utiliser pour ces 3 questions qui se ressemblent beaucoup mais qui sont différents :

On a un sac remplit de 500 000 000 billes et on en tire 27000 en remettant chaque bille après l’avoir tiré.
1) Quelle est la probabilité de tirer juste 2 fois une même bille ?
2) Quelle est la probabilité de tirer au moins 2 fois une même bille ?
3) Quelle est la probabilité de tirer 2 fois une même bille précisé désigné à l'avance ?

C'est plus le chemin de calcul que le résultat qui m'intéresse.

Merci

[Ben314]

Salut,
C'est (comme souvent en proba) pas super clair comme question :
- Est ce que, avant d'attaquer le tirage tu te fixe une bille (par exemple le sac contient une unique boule rouge) et que la question que tu te pose est de savoir la proba de tirer deux fois (ou plus/ou moins) cette bille là ?
Je pense que la réponse est non pour les deux premières questions et oui pour la troisième, mais je suis pas sûr à 100%;
- Dans le cas des deux premières questions, si effectivement, ce qui t'intéresse c'est de savoir s'il y certaines billes (non fixées à l'avance) qui vont être tirées plusieurs fois, dans quel cas range tu un tirage du style 3,5,7,2,5,9,1,2 où la bille N°5 a été tiré exactement 2 fois (ni plus, ni moins), ET où la bille N°2 a elle aussi été tirée 2 fois.
Dans un tel cas de figure, considère tu que "on a tiré juste deux fois une même bille" ou pas ?

Concernant la question qui me semble la moins ambigüe, c'est à dire la 3em où on a une unique bille rouge dans le sac et que tu te demande quel est la la proba. de tirer deux fois cette rouge (au moins ? au plus ? exactement ?), alors c'est très simple : à chaque tirage, soit tu tire la rouge, soit tu la tire pas : c'est une Bernoulli. Puis tu dénombre les "cas favorable" de tes Bernoulli indépendantes : c'est donc une simple binomiale que tu peut soit tenter de manipuler "telle quelle", soit approximer par une autre loi vu la grandeur des valeurs considérées (nombre de billes très important).

[ChrisAtari]

Désoler si mes questions ne sont pas très claires. Enfaite je considère que ce qu'une question à de particulier, les autres ne l'ont pas.
Du coup :
<<Est ce que, avant d'attaquer le tirage tu te fixe une bille>>
Non pour la 1) et 2) et Oui pour la 3)

<<Dans un tel cas de figure, considère tu que "on a tiré juste deux fois une même bille" ou pas ?>>
On à tiré plusieurs fois 2 mêmes billes donc Non.
3,5,7,2,5,9,1,2 corresponds plutôt à la 2) de la même manière que 3,5,7,2,5,9,1,4.
Pour la 1) on veut que ça : 3,5,7,2,5,9,1,4 ou ça : 3,5,7,2,4,9,1,2 par exemple.

Et une autre précision pour la 3) : C'est 2 fois la même bille fixé à l'avance, indépendamment de ce qu'il se passe avec les autres billes.

[Ben314]

Si ce qui t'intéresse c'est la proba qu'une des bille ait été tirée exactement deux fois et que toute les autres aient été tirées au plus une fois, je pense que ça se calcule relativement bien vu que tu as en fait un processus stochastique avec uniquement 3 états :

- La proba qu'après tirages aucune des billes n'ai été tirée plusieurs fois est où est le nombre de billes au départ dans le sac.

- La proba qu'après tirages une et une seule des billes ait été tirée plus d'une fois et qu'elle ait été en fait tirée exactement deux fois est telle que puis (soit on était dans une situation type et on en tire une différente de celles déjà tirées, soit on était dans une situation type et on en tire une qui a déjà été tirée).
Sauf erreur, ça se dérécursifie bien et ça donne

Et si j'ai bien compris l'énoncé, c'est la réponse à la première question et c'est la réponse à la deuxième (et j'ai déjà donné la réponse à la troisième dans le premier post).