Cout total et cout moyen

[m62660]

Hello tout le monde ! J'ai un dm de maths pour jeudi et j'aurais besoin d'une petite aide...Je vous mets mon énoncé :

Un entrepreneur est spécialisé dans la préparation de pigments qui, mélangés à un solvant, permettent la fabrication de teintes servant en artisanat d'art.
Le cout total de fabrication d'une masse q d'un certain pigment est exprimé par :

C(q) = 0.05q^3 - 0.9q² + 10q

où q est exprimée en centaines de grammes et C(q) en euros.
Le cout moyen par centaine de grammes produites est défini sur ]0; + infini[ par :

Cm(q) = C(q)/ q

a) Exprimer le cout moyen par centaine de grammes produites.
b) Déterminer pour quelle masse q produite le cout moyen Cm (q) est minimal et préciser le cout moyen minimal.
c) Le pigment est vendu a 8 euros pour 100 g. Conjecturer a l'aide de la calculatrice graphique pour quelle masse produite l'activité de l'entreprise est rentable.
d) vérifier cette conjecture par le calcul.

Je vous remercie d'avance !!

[Rabzouz]

Salut,
Où en est tu? Explique moi où tu bloque

[m62660]

Bonsoir !

Je sais que je dois faire Cm = 0.05q^3 - 0.9q² + 10 q / q puis factoriser mais je ne sais pas le faire...

[Rabzouz]

Si tu considère q différent de 0:
C(q) = q (0.05q^2 - 0.9q + 10)
ie C(q)/q = 0.05q^2-0.9q+10
Tu comprends?

[m62660]

Heu...Oui le q est en facteur mais où est passé le cube et le 0.9q² ?

[Rabzouz]

c'est mieux comme ça x)

[m62660]

Non je ne comprends pas vraiment...:s

[Rabzouz]

Alors j'ai juste factorisé par q, à la première ligne, puis divisé par q à la deuxième ligne.

[m62660]

Ce qui me donne q(0.05q²-0.9q+10) ? ...

[Rabzouz]

oui puis tu divise par q a gauche et droite
cela te permet de passer de : C(q) = q(0.05q²-0.9q+10)
à C(q)/q =q/q( 0.05q^2-0.9q+10)
or q/q = 1 donc
C(q)/q = 0.05q^2-0.9q+10

[m62660]

Ha oui ! Mais ou est passé le cube du début ?

[Rabzouz]

(0.05q^3)/q = 0.05q^2

[m62660]

Ha oui merci ! Ensuite pour la question b je suppose que je dois utiliser le polynome ?

[Rabzouz]

oui alors une astcue pour trouver le minimum d'un polynôme est de le dériver.
C'est alors la valeur de q pour laquel, Cm'(q) = 0

[m62660]

Sauf que c'est un devoir de es et que je ne suis pas censée avoir vu la dérivée...

[Ben314]

Salut,
Si tu n'as pas vu les dérivées, je vois éventuellement plusieurs options pour cette question b) :

- Une représentation graphique, par exemple avec la calculette ou, bien mieux avec un ordi. (écran 100 fois plus grand) sur lequel tu cherche le minimum de la fonction.

- Si tu as étudié ne serait ce qu'un tant soit peu les polynômes du second degré, tu as du voir que, pour a,b,c fixés avec a>0, la fonction réelle définie par f(x)=ax²+bx+c admet un minimum lorsque x=-b/(2a).

- Enfin, si tu n'a pas encore vu ça, tu a peut être vu la forme canonique du trinôme qui consiste à écrire que
0,05q² - 0,9q + 10 = 0,05(q² - 18q + 200)
puis que q² - 18x c'est le début du développement de (q - 9)².

[Rabzouz]

Sauf que Cm(q) n'est définie que sur R* donc q=9 n'est pas un minimum qui convient
On trouve experimentalement environ q = 3.4

[Ben314]

Pourtant, ça a bien l'air d'être q=9 qui donne le mini pour Cm(q) = C(q)/q.

[Rabzouz]

Oui autant pour moi, je me suis surement endormis sur mon calcul x)

[Rabzouz]

Pour finir la correction:
b) minimum atteint pour q = 9, donc Cm(q) = 5.95
c )
Cm(q) = 8xq
on cherche q tel que :
0.05q^3 - 0.9q^2 +10q <= Cm(q) = 8xq
il nous suffit de resoudre :
0.05q^3 - 0.9q^2 +2q <= 0
0.05q^2 - 0.9q +2 <= 0
ceci est vrai pour q >= environ 2.6
donc cela devient rentable apres q = 2.6