Dérivée : tableau de signe et tableau de variation !?

[Azertyty]

Bonjour à tous,

Dur dur le lundi matin ^^
Après une rapide présentation, je vous explique mon "problème"
Après Df et asymtote, je bloque sur l'étude d'une fonction.

(1-x).exp^(x)

A)
calcul de la dérivée
signe de la dérivée
en déduire la monotonie de la fonction

B)
tableau de variation de la fonction
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Je ne suis pas à l'aise avec la terminologie.
Ou du moins, la répartition des points : autant pour b) que pour a)
Je me dis que je dois passer à côté de quelque chose ...
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B)
exp étant toujours positif, le signe dépend seulement de (1-x)
sachant que (1-x)=0 donne x=1
le tableau de variation est 0 (croissant) 1 (décroissant) +infini

Graphiquement ça semble cohérent, mais ça me parait light pour 2 points sur 20 d'autant qu'il n'y a pas besoin du A pour en arriver là ...
Ma question 2 est donc : qu'est-ce-que j'oublie ?

A)
f'(x) = -x . exp^(x)
graphiquement je vois bien que la crête de la dérivée est en x=-1
puis que la courbe passe par (0;0)
mais je ne sais pas "justifier" le -1 comme valeur d'invertion du sens
et je patauge un peu sur la différence entre un tableau de signes de la dérivée qui aboutit à pouvoir écrire la monotonie que je crois être la suivante :
croissante dans l'intervalle ]-infini ; -1]
décroissante dans [-1 ; + infini [
et un tableau de variation de la fonction qui (je crois) reprend les éléments un par un de f'(x) pour déterminer les variations de f(x)
Ma question 1 est : qui peut m'expliquer en langage simple la réponse attendue dans le bon ordre ?

Par avance, merci !
Toute aide, même partielle, est la bienvenue ...

[annick]

Bonjour,

j'ai vu ta présentation et je suis très contente de pouvoir essayer de te donner un coup de main pour que tu avances dans ta remise à niveau.

Pour l'étude de ta fonction, effectivement j'ai l'impression que tu t'embrouilles un peu entre la croissance de ta fonction et ta dérivée.

Je reprends donc tranquillement :

Tu as f(x)=(1-x).exp^(x)

et comme tu l'as bien trouvé, sa dérivée est

f'(x)=-xe^x

Arrivé là, tu vas étudier le signe de la dérivée (dans un tableau de signes) pour en déduire la croissance de la fonction (c'est-à-dire le sens de variation et non le signe : la courbe monte ou elle descend, que ce soit dans des valeurs positives ou négatives. C'est aussi ce que l'on appelle la pente de la tangente à la courbe en un point donné et cela est donné par la valeur de la dérivée en ce point : si elle est positive la courbe monte, si elle est négative la courbe descend, si elle est nulle, on a un maximum ou un minimum).

En premier lieu, on va donc chercher les valeurs qui annulent la dérivée et le signe qu'elle prend entre ces valeurs.

Comme tu l'as dit, e^x est toujours >0.
Le signe de ta tangente ne dépend donc que du signe de -x.
-x s'annule pour x=0
-x >0 entre -00 et 0
-x<0 entre 0 et +00

Ton tableau de signes est donc composé d'une première ligne avec les valeurs de x, dans laquelle tu vas reporter 0.
La deuxième ligne va concerner le signe de la dérivée soit ici, +, 0, -.
La dernière ligne va représenter la croissance de ta fonction, soit ici, croissante, nulle, décroissante.

Enfin, tu vas calculer la valeur de ta fonction aux points qui annulent la dérivée, soit ici f(0)=1
Le sommet a donc pour coordonnées (0;1) et ta courbe va monter jusqu'à ce point, puis descendre ensuite, ce que tu dois pouvoir vérifier en faisant tracer le graphe de ta fonction sur ta calculatrice.

J'espère que ces explications auront été suffisamment claires pour que tu t'y retrouves.

[Azertyty]

Merci Annick pour ta réponse complète et ta réactivité !!

A)
Dérivée OK
Tableau de signes (de la dérivée) théoriquement en 3 lignes : x | -x | e^x
Mais exp étant toujours positif, je me contente de 2 lignes : x | -x
Valeurs qui annulent la dérivée ? oui, une seule, c'est zéro
donc la 1ère ligne est x | -oo 0 +oo
et la 2eme ligne est signe de f'(x) | + 0 -
La monotonie de la fonction est croissante, nulle, décroissante.

B)
Valeur(s) de la fonction là où la dérivée s'annule ?
Une seule image à calculer : f(0)=(1-0)x1 = 1
Le tableau de variation (de la fonction) en 2 lignes :
x | -oo 0 +oo
f(x) | 0 1 -oo

J'espère que ce que j'ai écris est correct ...
Dans tous les cas, c'est plus clair pour moi maintenant.
Pour la suite des mes interrogations, je vais faire mon possible pour ne pas trop vous embêter ^^
Encore merci.

[annick]

Petites mises au point :

1) Tu écris : "La monotonie de la fonction est croissante, nulle, décroissante."
Je pense que le terme monotonie est inapproprié. Tu peux juste dire que la fonction est croissante.....sur tel domaine.

2) Au sujet du tableau de variations, pour moi il est en 3 lignes :
x avec ses valeurs
f'(x) avec ses 0 et ses signes
f(x) avec ses flèches de croissance et ses valeurs de maxima et minima.
Comme cela on voit tout d'un coup et si l'on a besoin d'y revenir plus loin dans le problème, on a une vue synthétique rapide.

[annick]

Et, au fait, tu ne nous embêtes pas du tout : c'est plutôt un plaisir de bosser avec toi. En général, on vient sur ce forum parce qu'on aime les maths et les partager. Et puis le jour où ça nous ennuie ou que le sujet ou l'interlocuteur ne nous plaisent pas, et bien, on ne répond pas.

[Azertyty]

C'est pour cela que j'ai précisé au début que j'avais du mal avec l’énoncé.

On trouve de "nombreuses" définitions de "strictement monotone"
Mais pas facilement de définition (littéraire) de la monotonie d'une fonction
(et effectivement, la phrase " la monotonie de la fonction est .......... " n'est pas courante ^^)

2) Je visualise bien l'intérêt de mettre signes et variations dans un même tableau.
Mais comme je l'ai dit, ce sont 2 questions séparées (avec notamment autant de points pour la 2eme, d'où mon "envie" de m'étaler un peu sur elle, plus qu'en ajoutant seulement une ligne au tableau de la question d'avant. Mais je me formalise peut-être pour rien ?

Modo à une époque (dans un tout autre domaine) j'ai aussi pris plaisir à partager.
Toutefois, je me dis que pour progresser en maths, il faut creuser soi-même ...
Donc quelque part, ça va à l'encontre de la progression de votre forum = plus je progresse = moins je vous interroge = moins il y a d'activité. Vous avez intérêt à n'avoir à faire qu'à des cancres Je plaisante bien sûr, ce que j'ai voulu dire c'est que je vais éviter de poser des questions par facilité, et ne venir que lorsque je bloque "vraiment".

[laetidom]

Bonjour,

2) Je visualise bien l'intérêt de mettre signes et variations dans un même tableau.

du style :

les signes induisent le fait que les flèches de variation montent ou descendent : cela à l'avantage de produire un document synoptique bien utile !

je vais éviter de poser des questions par facilité, et ne venir que lorsque je bloque "vraiment".

Belle philosophie !

Bonne journée !