Tains et mouche

[LjjMaths]

Bonjour à tous, une question posée sur le forum m'a rappelé un problème qui pose un petit soucie
On a deux trains qui vont l un vers l autre à 50km/h et qui sont initialement séparés par 200km
Un mouche allant à 75km/h part d un des deux trains (au moment où ils sont séparés de 200km), disons le train A, et FAit des aller retour entre les trains À et B jusqu à se qu elle soit écraser entre les deux trains
La question originale du pb est de trouver la distance parcourue par la mouche (on trouve 150km car les deux trains entrent en collision au bout de 2h et la mouche va a 75km/h)

Mais je me suis posé une autre question qui me pose problème : combien de fois la mouche va t elle toucher le train B avant de se faire écraser et pk

[nodgim]

Si tu supposes que la mouche est un point, le nombre de contacts avec chaque train est infini.

[LjjMaths]

Je pense qu elle touche le train B une infinité de fois car en faisant des calculs on trouve que la distance entre les trains est d abord 200 puis 40 puis 8 à chaque fois que la mouche touche un des trains donc on conjecture que la distance est multipliee par 1/5 à chaque fois qu elle touche un train
Après j ai définie la suite Tn qui correspond au temps que met la mouche pour aller d un tain a l autre avec n le nombre de fois que la mouche à toucher un train
On a donc Tn=Dn/v = Dn/(75+50)=Dn/125
Et d après notre conjecture Dn=200*1/5^n
On a donc Tn=(200/125) * 1/5^n
On cherche n tq Tn=0 et on trouve n tend vers l infini

Mais ç pas Claire je trouve

Merci d avance

[LjjMaths]

Merci nodgim sauf que je sais pas comment le prouver de manière claire

[Ben314]

On a donc Tn=(200/125) * 1/5^n
On cherche n tq Tn=0 et on trouve n tend vers l infini

Attention à écrire les choses proprement :
- L'équation (en n) Tn=0 n'a pas de solutions.
- La limite lorsque n tend vers l'infini de Tn est égale à 0.
Mais si tu commence à écrire que "la solution de Tn=0 est n=+oo", tu risque rapidement d'écrire de sacrées conneries...

[LjjMaths]

Oui excuse moi tu as raison
Ca FAit parti des éléments qui font que ma réponse est vague et pas du tout claire

[Ben314]

Sinon, cette histoire des trains et de la mouche qui fait une infinité d'aller retours en un temps fini, a mon sens, c'est très très proche des paradoxes de Zénon qui ont conduit les Grecs (puis tout les matheux jusqu'à Cantor au début du 20em siècle) à fuir comme la peste tout ce qui ressemblait à quelque chose d'infini.

[nodgim]

Le plus fascinant dans cette histoire, c'est que l'infini des rebonds est comptabilisé dans l'ultime instant avant le contact. En effet, tant que le temps écoulé est mesurable, le nombre de rebonds l'est également, et donc fini.
Étonnant, non ?

[WillyCagnes]

bjr,

problème de la mouche connu, voici un fichier démo avec des cyclistes
http://www.cjoint.com/c/GAxkiQFkWgW

[Black Jack]

Avec t(n) (en h) le temps de vol de la mouche dans son n ième voyage et D(n) (en km) l'écart entre les trains au départ du neme voyage de la mouche.

D(n+1) = D(n) - (D(n)/(75+50))*(50+50)
D(n+1) = (1/5).D(n)

t(n) = D(n)/(75+50) = D(n)/125

t(n+1) = D(n+1)/125 = D(n)/625
t(n+1) = t(n)/5

Et donc tn est une suite gaométrique de raison 1/5 et de 1ere terme t1 = D1/125 = 200/125 = 1,6

Durée totale de vol jusqu'au n ième voyage : T(n) = 1,6 * (1 - (1/5)^n)/(1 - 1/5)

T(n) = 2.(1 - (1/5)^n)

Or, on calcule facilement que le temps total de vol de la mouche est 2 h (200/(50+50)) et donc pour déterminer le nombre de voyages de la mouche, il faut trouver la "valeur" de n telle que : T(n) = 2

Or lim(n --> +oo) [2.(1 - (1/5)^n) ] = 2

Et donc le "nombre" de voyages de la mouche est infini.

Par là, la mouche va toucher aussi le train B une infinité de fois.

[LjjMaths]

Merci bcp à vous tous en particulier à black jack pour la résolution bien claire du pb !

J ai regardé le paradoxe de zenon et j ai un peu plus réfléchi à cette mouche qui fait une infinité de trajets, je trouve ça super étrange que la mouche et Achilles puissent faire une infinité de trajets en un lapse de temps'fini pour finir, à un moment donné, par rattraper la tortue ou se faire écraser par les trains !!