Nature, Somme et Développement de séries :

[Bissaki]

C’est vraiment urgent (pour demain !), alors merci bien de m’aider :
Je m'excuse de ne pas savoir écrire le symbole de la racine, de la valeur absolue et de la puissance de 3 :

1/ Déterminer la nature de la série numérique suivante :
;)(n;)1) 1/n (1- racine de (1-1/n))

Le (1-1/n) est sous le signe de la racine. C’est une série à termes positifs, et on demande si elle est convergente ou divergente. Alors quelle critère utilisé (Riemann, d’Alembert, la comparaison ?) et comment ?


2/ Déterminer la somme de la série suivante :
;)(n;)1) (n² - 1) x;)

Le x est à la puissance n. Ici je n’ai pas une idée claire sur comment on peut le faire !


3/ Donnez le développement en séries de Taylor des fonctions suivantes :
Sin(puissance 3) (x)
(1 – x²) (le tout sous le signe de la racine) , sachant que la valeur absolue de x est 1

Ici vraiment aucune idée !!

[tize]

Pour la première je te conseille un equivalent plus riemann
Pour la deuxième, tu peux separer en deux séries, je pense...
La 3 c'est du cours, il me semble...

[Bissaki]

Tu peus dévelloper encore plus la réponse ? merci.

[nyafai]

Salut

1) tu peux faire un développement limité de racine(1-1/n) (cf ton cours pour comment le faire) qui te donnera un équivalent du terme général de ta série ( qui est à terme positif) d'où tu pourras conclure

2) regarde dans ton cours ce qui concerne les séries géométriques, c'en est une application quasi immédiate.

3) comme l'a dit tize, on te demande une application immédiate du développement en série de Taylor-> cours sur les séries de Taylor

si tu trouves pas dans ton cours, tu peux toujours trouver sur internet

bon courage :we:

[Bissaki]

Le problème c'est que je n'ai plus de cours sur ces sujets (nature des séries, séries géométriques, séries de Taylor) !! Et en ce moment meme je prépare une autre chose et donc je n'ai pas le temps pour chercher des cours sur le net (qui m'est pas facilement accessible en ce moment ), comprendre et appliquer enfin ... !! c'est pour cela que je suis venu ici, merci quand meme, mais si quelqu'un me donne un bon coup de main (je veus dire les réponses), j'en serais très reconaissant ... ...

[Bissaki]

Up !! Ou sont les matheux ??

[tize]

Pour la première :

Donc :

La série est à donc un terme general equivalent à celui d'une série de même signe constant et convergente...

[Bissaki]

Merci j'ai trouvé les réponses à la 1ère et 3ème question, mais il me reste celle-là :

Déterminer la somme de la série suivante :
(n;)1) (n² - 1) x;)

Il y a apparemment application de somme d'une série géométrique, voici sa définition ici mais je ne trouve pas comment appliquer ...

[tize]

Pour
Poses ensuite
Remarque :
utilise la ressemblence avec et

[nyafai]

sauf mauvais souvenir de ma part, le problème de cette méthode c'est que pour montrer que l'on a le droit de dériver terme à terme une somme infinie, il faut des connaissances sur les séries entières ou sur la convergence uniforme ou dominée (notions de spé) ce que Bissaki n'a peut-être pas vu qu'il étudie à priori les développements limités vus en sup. :hein:

Mais je me trompe peut-être. je ne me rappelle plus exactement de comment on faisait ça en sup
Ceci dit c'est probablement la manière la plus simple d'y arriver sans se poser de questions

[Bissaki]

tize :
Attends un peu je ne comprend pas !!

- La condition que tu poses (valeur absolue de x < 1) n'existe pas dans la question, y t-il pas une solution pour quelque soit x ?
- Comment tu as fait pour trouver f' et f'' ?
- Sinon je ne vois pas la ressemblance avec f''

Tu peus m'éclairer ...

[tize]

- La condition que tu poses (valeur absolue de x < 1) n'existe pas dans la question, y t-il pas une solution pour quelque soit x ?

Pourtant tu l'a toi même ecrit dans ton premier post...

[Bissaki]

La valeur absolue de x s'était juste pour la 2ème formule de la 3ème question !!
Aï aï aï ! je commence à perdre espoir !!
Sauvez-moi !!!!!!!!

Sinon c'est quoi la solution si valeur absolue de x < 1 ?
Peut-etre que le prof l'acceptera (bien que fort improbable !!)

[tize]

D'accord,
alors si , de toute façon la série diverge...(par exemple si elle tend vers )
Donc soit |x|<1 et c'est ecrit dans ton énoncé, soit ton prof l'a oublié...

Ensuite si |x|<1 : je t'ai déjà indiqué la méthode dans le post #9...mais tu est censé avoir connaissance des séries de fonctions et de leur dérivée...
Sinon, je ne vois pas comment faire...

[Bissaki]

tize : "mais tu est censé avoir connaissance des séries de fonctions et de leur dérivée..."

Il n'y a rien des dérivées des séries de fonction dans les cours que j'ai,
ça doit etre "la question impossible" dans le sujet, pour éviter le 20/20 ...
En tout cas, tu peus m'expliquer un peu ta réponse ???!!!

[tize]

D'accord, pour (somme des termes d'une suite geometrique)
il se trouve que converge aussi pour |x|<1.
Donc (on a dérivé ).
En dérivant une seconde fois, on a : (converge aussi pour ).
Maintenant :
et

La première somme :

Puis même chose avec la deuxième somme et .
Mais si tu n'as pas vu ces propriétés ,tu ne peux pas les utiliser...
Sinon je ne sais pas comment on fait, si quelqun a une idée ...

[Bissaki]

Oui, en attendant je revient à la question une et la nature de la série :
(n;)1) 1/n (1- racine de (1-1/n)).
Ma solution (que j'ai faite moi-meme) étais fausse en effet. Et en vérité je n'ai pas compris ta réponse (post 7) : c'est quoi les deux symboles entre les deux formules ?? Et comment ?? enfin je ne sais pas.
On a l'habitude trouver la nature d'une série en appliquant certains critères, les-voilà :

On a la série Un :

Critère de Cauchy :
Lim (n—>+infini) racine n de Un = a
01 : donc Un divergente

Critère de d’Alembert :
Lim (n—>+infini) U indice n+1/Un = a
01 : donc Un divergente
a = 1 : cas de doute

Critère de Riemann :
S’il y a un nombre a de R
Si a > 1 :
Lim (n—>+infini) n (puissance) a . Un = b donc Un convergente
Si a +infini) n (puissance) a . Un = c donc Un divergente

La Comparaison :
Lim (n—>+infini) Un/Vn = 0
Si Un divergente donc Vn divergente
Si Vn convergente donc Un convergente

Si Lim (n—>+infini) Un/Vn = a de R (a n’égale pas à 0)
Alors Un et Vn sont de même nature.

Autre :
- On trouve une série simple Vn convergente :
Un = Vn : alors Un sera divergente.

Voilà … …

[tize]

Tu connais les équivalents ?
Tu es en quel niveau ?

[Bissaki]

Les équivalents ?? dans les séries ?? connais pas !!
Je sui en 2ème année informatiques
En fait, je ne suis pas Français ...

Alors, y a t-il pas une solution ?
C'est la toute dernière question qui me reste, et j'aurais la note qui me sauvera (etje suis sérieux !!)

Mais il me reste pas beaucoup de temps ... en plus du retard que j'ai fait !!

[Bissaki]

Voici la solution pour la série (on me la montré, pas tordue !!!) :
;)(n;)1) 1/n (1 – racine (1 – 1/n))

Quelque soit 0 a 1 : a racine a :
0 1 – 1/n 1 donc
1 – 1/n racine (1 – 1/n)
On multiplie par -1, on ajoute 1 puis on multiplie par 1/n, on trouve :
1/n (1 - racine (1 – 1/n)) 1/n²

(n;)1) 1/n² est convergente donc (n;)1) 1/n (1 – racine (1 – 1/n)) est convergente aussi.

Chokrann (merci en arabe).