Réciproque du théorème de Pythagore avec des longueurs x

Réponses à toutes vos questions du CP à la 3ème
Clemence17
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Réciproque du théorème de Pythagore avec des longueurs x

par Clemence17 » 21 Jan 2017, 13:49

Bonjour,

J'ai un devoir maison à faire, et je bloque sur un des exercices...

En fait, il faut montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en sachant que AC = x^2 + y^2 (c'est l'hypoténuse), BC = 2xy et AB = x^2 - y^2. Et on sait aussi que x et y sont positifs.

Je sais comment fonctionne la réciproque du théorème de pythagore:
On sait que ABC est un triangle, que AC = x^2 + y^2, BC = 2xy et AB = x^2 - y^2, et enfin que x et y sont strictement positifs.
AC^2 = (x^2 + y^2)^2 =...
BC^2 + AB^2 = (2xy)^2 + (x^2 - y^2)^2 = ...

Pour pouvoir dire que c'est un triangle rectangle il faut prouver l'égalité, mais je suis coincée avec tous ses carrés et ses parenthèses, ça me fait penser à des identités remarquables mais je n'y arrive pas, est ce que quelqu'un peut m'aider ?

Merci d'avance



XENSECP
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Re: Réciproque du théorème de Pythagore avec des longueurs x

par XENSECP » 21 Jan 2017, 14:00

Salut Clémence,

Et que dirais-tu de simplement tout développer et confirmer que tu as bien la même chose des 2 côtés ? :)

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WillyCagnes
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Re: Réciproque du théorème de Pythagore avec des longueurs x

par WillyCagnes » 21 Jan 2017, 14:05

bjr,

revise donc tes identité remarquables

(a-b)²=a² -2ab+b²
pose a=x²
b=y²

(2xy)² + (x² - y²)^2 =4x²y² +x^4 -2x²y² +y^4=2x²y²+x^4+y^4

à comparer avec (a+b)²=a²+2ab+b²
(x² + y²)^2=?

XENSECP
Habitué(e)
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Re: Réciproque du théorème de Pythagore avec des longueurs x

par XENSECP » 21 Jan 2017, 14:06

Sinon (mais c'est un peu biaisé) tu peux faire:


Comme ça tu utilises la même identité remarquable dans les 2 sens :) mais bon c'est sans doute pas nécessaire :)

Après quand tu connais les nombres imaginaires tu peux le faire directement:


Clemence17
Messages: 2
Enregistré le: 21 Jan 2017, 13:39

Re: Réciproque du théorème de Pythagore avec des longueurs x

par Clemence17 » 21 Jan 2017, 14:12

Merci beaucoup, je me trompais sur les carrés et du coup pour (x^2 - y^2)^2 je trouvais : x^4 - 2x^4y^4 + y^4

Je comprends mieux mon erreur !
Du coup les 2 termes sont bien égaux merci beaucoup !

 

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