DM première S géogébra

[DragonArgentetOr]

Bonjour à tous, j'ai un dm à rendre pour la semaine prochaine, qui est à faire sur le logiciel géogébra, en voici l'énoncé:

On considère un triangle ABC, et on appelle A', B' et C' les milieux respectifs des segments [BC], [CA] et
[AB]. On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, H son orthocentre, et G son centre de gravité.
1. Figure avec le logiciel de géométrie dynamique GeoGebra
a. Réaliser une figure à l’aide du logiciel.
Pour plus de clarté, on veillera à utiliser des couleurs pour distinguer les différentes droites
remarquables (médianes, hauteurs, médiatrices) du triangle.
b. Expliquer sur la copie la procédure pour obtenir les points O, H et G (Rappel des définitions).
2. Autour du centre de gravité
a. Sur la figure, construire le point G', symétrique de G par rapport au point C'.
b. Démontrer que le quadrilatère AGBG' est un parallélogramme.
c. Démontrer que G est le milieu du segment [CG'].
d. Déduire de ce qui précède que :
GA + GB + GC = 0
e. Exprimer le vecteur CG en fonction du vecteur CC'.
Préciser alors quelle est la position du point G sur la médiane [CC'].
3. Droite d'Euler
a. Sur la figure, construire les vecteurs OH et OG .
b. Déplacer les points A, B et C, puis émettre une conjecture sur les points O, G et H.
Plus précisément, conjecturer une relation entre les vecteurs OH et OG .
Soit M le point défini par
OM= OA + OB + OC.
c. En utilisant la relation de Chasles, prouver que :
AM= 2 OA'
d. En déduire que M appartient à la hauteur du triangle ABC issue de A.
e. Démontrer que les points M et H sont confondus.
f. Démontrer que :
OA+ OB+ OC= 3 OG.
g. Démontrer alors les conjectures établies au 3. b.
h. Rechercher ce qu’on appelle droite d'Euler d'un triangle

Pour le moment j'en suit à la question 2) c), où l'on nous demande de démontrer que G est le milieu de CG', mais sur ma figure ci-dessous ce n'est pas du tout le cas, donc je me demande où ais-je fais une erreur, je vous remercie d'avance pour vos réponses.

[Tiruxa47]

Bonjour,
Place toi dans le triangle CBG', On vient de démontrer que (GA')//(G'B) cela devrait te permettre de conclure.

[DragonArgentetOr]

oui, sauf que je n'ai pas démontré que (CA')//(G'B) mais que (AB) et (G'G) se coupent en leur milieu

[Tiruxa47]

Bien sûr mais ce sont les côtés opposés du parallèlogramme !

[DragonArgentetOr]

ah oui, d'accord j'ai compris, mais tu parles de (AG) et (G'B) pas (A'G) et (G'B)

[Tiruxa47]

euh .... tu vois une différence entre (AG) et (A'G) !!
Ce sont des droites non pas des segments.

[DragonArgentetOr]

ah oui, pardon, j'avais pas fais attention, mais je ne vois pas vraiment le rapport entre le fait que ces 2 droites soient // et le fait que G soit le milieu de CG'

[siger]

bonsoir

2/
b-G' symetrique de G par rapport C' milieu de AB
donc G' milieu des diagonales de AGBG'........
c-G'C' = GC' = C G /2 par definition du centre de gravité......
d- GA+ GB = GG' soit en vecteurs GA + GB + GC =0

[DragonArgentetOr]

ok, merci de votre aide, j'ai à peu près compris ce qu'il fallait faire, ensuite,
pour le e- j'ai trouvé que CG= CC' - GC', en revanche je ne comprends pas ce que signifie quelle est la position de G sur la médiane (CC')

[Ben314]

Salut,
A mon avis, pour le 2)c) il est clairement interdit d'utiliser le fait que en décrétant que c'est "connu" vu que ça revient très précisément à dire que le résultat de la question suivante est "connu", c'est à dire que ça revient à utiliser le résultat de la question suivante pour démontrer celle là....
De plus, si on devait utiliser ce résultat, il ne faudrait pas écrire que c'est "par définition" vu que, quelque soit le contexte, d'être au 2/3 des médianes n'a jamais été la définition du centre de gravité : la définition vue au collège dit que c'est l'intersection des médianes.

Bref, je pense que ce qui est attendu, c'est de déduire de la question 2.b que les droites (AG') et (BG)=(B'G) sont parallèles puis d'utiliser le théorème des milieu dans le triangle (ACG').

...en revanche je ne comprends pas ce que signifie quelle est la position de G sur la médiane (CC')

Justement, là on te demande de démontrer le résultat que tu connait surement déjà, c'est à dire que G est situé "au 2/3 de la médiane [CC'] en partant du sommet C", c'est à dire d'écrire "en Français" ce que tu vient de démontrer, c'est à dire que .

[DragonArgentetOr]

d'accord, je te remercie de tes conseils

[DragonArgentetOr]

J'en suis maintenant à la question 3)c) mais je ne suis pas sur d'avoir bien placé le point M étant donné qu'on demande de prouver que AM=20A' alors que ca ne correspond pas du tout sur la figure, est ce que je ne me suis pas trompé?

[Ben314]

Ta figure commence à être passablement illisible. Tu devrait
- Enlever les axes (clic droit n'importe où)
- Ne pas faire afficher les nom des truc qui n'ont pas de nom dans l'énoncé, c'est à dire toute les droites, segments et le cercle (tu clique sur les objets, soit sur la figure, soit à gauche dans la liste, puis dans "propriétés", tu décoche la case "afficher l'étiquette")
- Déplacer les points A,B,C de façon à ce qu'il n'y ait pas des tonnes de droites quasi confondues : là le soucis, c'est que ton triangle est presque isocèle est ça fait que plein de droites sont presque égales (dans un triangle isocèle en B, la médiatrice de [AC], la hauteur issue C, la médiane (C,C'), la bissectrice de l'angle en C et... la droite d'Euler sont toutes confondues.)

Sinon, effectivement ton point M est complètement faux : si tu lit la suite du sujet (question 3.e.) tu voit que le point M n'est autre que l'orthocentre du triangle qui, sauf erreur, est déjà sur ton dessin sous le nom de H (donc M et H devraient être au même endroit sur ta figure, y compris lorsque tu bouge A,B et C)

Tu as fait comment pour le construire sur ta figure ?

[DragonArgentetOr]

eh bien j'ai fait segment de longueur donnée sur O et j'ai additionné OA + OB + OC

[DragonArgentetOr]

voila la nouvelle figure

[Ben314]

eh bien j'ai fait segment de longueur donnée sur O et j'ai additionné OA + OB + OC

Ca ne va effectivement pas :
- Déjà, la commande "segment créé par un point et une longueur", ça te place au pif un point à une certaine distance du point donné (donc un point sur le cercle de centre le point donné et de rayon le réel donné). Donc ça ne définit pas du tout un unique point.
- Ensuite (et c'est un peu regrettable) GéoGébra accepte d'additionner des "segments" mais il faut absolument bien comprendre que ce qu'il fait, c'est d'additionner les longueurs des segments vu qu'en math, ça ne veut rien dire d'additionner des segments. Tu pourra remarquer que GéoGébgra accepte aussi d'additionner des points alors qu'en fait, ça n'a pas vraiment de sens (si dans une quelconque copie de math. tu ajoute des points, je te dit pas comment tu va te faire allumer).

Bref, pour construire correctement M, il te faut faire la somme des vecteurs , et . Tu peut soit "fabriquer" les 3 vecteurs avec la souris puis en faire la somme dans la ligne de commande en bas, soit directement taper dans la ligne de commande en bas :
M=H+vecteur[O,A]+vecteur[O,B]+vecteur[O,C]
Faire "un point plus un vecteur", ça, même en math, on peut lui donner du sens : écrire que ça va signifier que c'est l'unique point tel que (certains prof. acceptent cette écriture et d'autres non, ça dépend du prof...)

Sinon, la suite, tu y arrive ?

[DragonArgentetOr]

ok, merci, je m'en souviendrais, mais par contre M n'est pas confondu avec H en faisant comme ça, est ce que c'est normal?

[Ben314]

...mais par contre M n'est pas confondu avec H en faisant comme ça, est ce que c'est normal?

Non, c'est pas normal. Tu as du te gourer en tapant le truc : même en ajoutant "vaguement" les vecteurs OA, OB et OC de ta figure, on voit assez clairement que la somme c'est pas le OM qui est tracé.

Fait un clic droit sur le point M, puis "propriétés", puis "basique". Dans la case "définition", tu devrai avoir 0+Vecteur[O,A]+Vecteur[O,B]+Vecteur[O,C]

EDIT : Je viens de penser à un truc : fait bien gaffe à différencier la lettre majuscule O avec le nombre (et chiffre) 0 (zéro). Là, c'est des lettres O majuscules partout que tu doit évidement avoir et pas des zéro.

EDIT 2: Je viens de voir que dans le post précédent j'avais écrit M=H+Vecteur[O,A]+Vecteur[O,B]+Vecteur[O,C] ce qui est une connerie... : c'est O et pas H le "point de départ" du vecteur.
En plus, vu le dessin, ça semble effectivement être ça que tu as rentré : désolé...

[DragonArgentetOr]

oui, merci cette fois c'est bon, le point M est bien confondu avec le point H,

[DragonArgentetOr]

bon, après dans la question c), je n'arrive pas avec la relation de chasles à obtenir AM= 2 OA', même si je le vois très bien sur la figure