Salut,
Dans un exercice j'ai à déterminer tous les Sylow de le groupes des permutations de 4 éléments.
Pour les 3-Sylow ça va, pour les 2-Sylow j'ai pensé (après environ 94,pi essais) à
("groupe engendré par les éléments..." avec les notations sous forme de produit de cycles disjoints) qui, à force d'entrechoquer les éléments me donne 8 éléments comme promis. J'ai alors deux questions:
1) Comment trouver rapidement la tête de nos chers Sylow?
2) Comment montrer qu'un ensemble est un groupe?
En particulier dans mon cas j'ai (j'espère avoir) j'ai l'impression d'avoir essayé toutes les méthodes que je connais; l'exprimer comme un noyau, essayer par un argument de cardinal et de divisibilité des ordres. Je les ai peut être mal appliquées mais en tout cas la seule chose qui marche en temps fini c'est d'entrechoquer les éléments entre eux pour constater qu'ils restent bien dans H. Bref si vous avez une astuce qui m'évite de faire 94,pi essais ou de faire 18,3 calculs de produit de permutations ce sera un plaisir de les lire.
PS: au détour d'un couloir mon prof m'a suggéré de regarder les 2-Sylow de , ils sont en effet plus simples que ceux de mais j'arrive pas à en tirer grand chose. Peut être avec (produit semi direct) mais j'y connais pas trop grand chose sur les psd?