Polynome

[harry12]

bonjour <3
soit p(x) = x^5 + x^4 -6x^3+ax^2 +bx+c
determiner les reels a b et c tels que ; R(x) = -2x^2 +x +6 soit le reste de la division euclidienne de p(x) par (x-2)(x+1)(x-1)

est que quelqu'un peut m'expliquer ce genre d'exercice
merci d'avance

[siger]

bonjour

on a p(x) = h(x)*g(x) + r(x)
avec
h(x)= (x-2)(x+1)(x-1) =( x³ - 2x² -x +2)
g(x) = Ax² + Bx+ C puisque le produit doit etre de degre 5
r(x) = ( -2x²+x+6)
en effectuant les operations on obtient p(x) en fonction de A,B et C
puis en identifiant avec
p(x)=x^5 + x^4 -6x^3 +ax² + bx + c
on obtient les valeurs de A,B, C puis celles de a,b et c

[harry12]

en effectuant les operation puis l'identification j'ai eu a= -3 b =0 et c=0 et A=1 B =1 C=-3

[Ben314]

Salut,
En fait, pour ce type d'exo., tu as une deuxième méthode un peu moins calculatoire, mais qui demande à ce qu'on connaisse la factorisation du quotient ce qui est bien le cas ici. Alors que la méthode plus "lourde" proposée par siger marche quelque soit la forme du quotient (et tu as même intérêt à le développer pour simplifier les calculs).

Bref, cette deuxième méthode, ca consiste simplement à constater que, si
P(X)=(X-2)(X+1)(X-1)Q(X)+R(X)
alors on a forcément P(2)=R(2) ; P(-1)=R(-1) et P(1)=R(1) vu que le produit (X-2)(X+1)(X-1)Q(X) est nul lorsque X=2, -1 ou 1.
L'intérêt de la méthode, c'est bien entendu que l'on ne s'occupe absolument pas de savoir qui est le polynôme Q donc au niveau calcul, on a uniquement 3 inconnues a,b et c (et 3 équations) et pas 6 vu qu'on ne cherche pas A,B et C.

EDIT : Sauf erreur, les trois équations P(2)=R(2) ; P(-1)=R(-1) et P(1)=R(1) donnent 4a+2b+c=0 ; a-b+c+6=3 et a+b+c-4=5 et l'unique solution est a = -5 ; b = 6 ; c = 8.
On peut ensuite vérifier que dans ce cas P(X)-R(X)= est bien divisible par (X-2)(X+1)(X-1) soit en vérifiant que 2, -1 et 1 sont racines, soit en effectuant la division : on trouve un quotient égal à (donc avec l'autre méthode tu devrait trouver A=1 ; B=3 ; C=1)

[laetidom]

Bonjour @ tous,

Merci Ben, je cherchais depuis un moment et j'avais tout simplement la valeur de c fausse, maintenant tout va mieux :

[siger]

re

evidemment (avec mes notations), on a
m(x)=p(x)-r(x) = h(x)*g(x) avec h(x) = (x-2)(x-1)(x+1)
soit m(1)=0
m(-1)=0
m(2)=0
ce qui conduit au systeme
a+b+c=9
a-b+c=-3
4a+2b+c=0
........

[Black Jack]

(x-2)(x+1)(x-1) = x³-2x²-x+2

On fait la division euclidienne de x^5 + x^4 -6x^3+ax^2 +bx+c par (x³-2x²-x+2) ...



Et on trouve le reste : (a+3)x² + (b-5)x + (c - 2)

En identifiant les coefficients de même puissance en x du reste trouvé ci-dessus avec (-2x^2 +x +6), on a immédiatement :

a+3 = -2 --> a = 5
b-5 = 1 --> b = 6
c-2 = 6 --> c = 8

[zygomatique]

salut

juste comme ça ...

on peut remarquer que 2 annule le quotient et le reste ...

[hatou]

bonjour j'espere que vous allez bien et que vous pouriiez m'aidez a faire ce probléme


Voici un problème :
ABCD est un rectangle de largeur 13 cm. Son périmètre mesure 82 cm. Quel est sa longueur ?

Soit z la longueur, en cm, du rectangle. Quelle équation doit vérifier z ?

[Lostounet]

bonjour j'espere que vous allez bien et que vous pouriiez m'aidez a faire ce probléme


Voici un problème :
ABCD est un rectangle de largeur 13 cm. Son périmètre mesure 82 cm. Quel est sa longueur ?

Soit z la longueur, en cm, du rectangle. Quelle équation doit vérifier z ?

Salut...
Merci d'ouvrir ta propre discussion....