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oumou
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par oumou » 16 Jan 2017, 06:37

salut, je ne parviens pas a demontre ceci de l `aide SVP

soit E un espace vectoriel norme et G inclus E . montre que G est connexe.



merci



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mathelot
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par mathelot » 16 Jan 2017, 12:24

Bonjour,
on suppose que G est un s.e.v de E
soit et et

donc G est connexe par arcs donc connexe

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par oumou » 16 Jan 2017, 16:53

connnexe par arc !!!!!! ca veut dire quoi ?

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par mathelot » 16 Jan 2017, 20:00

un segment qui joint a à b est la donnée de l' application



a et b sont reliés par un arc
La composante connexe de a est l'ensemble des points qui peuven etre reliés à a
par un arc paramétré

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par Lostounet » 16 Jan 2017, 20:51

Bonjour,

Oumou: quelle est pour toi la méthode pour montrer qu'un ensemble est connexe?

Aux autres j'aurais une question: quel lien y'a-t-il entre la connexité et l'intérieur? Car on sait que G est d'intérieur vide (si c'est un ss espace vectoriel strict de E) donc peut-on en conclure quelque chose?
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par oumou » 16 Jan 2017, 21:06

je ne sais pas , enfaite je viens de constacte que notre prof a saute cette partie dans le cours sinon merci a vous

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par Ben314 » 16 Jan 2017, 21:38

Lostounet a écrit:...quel lien y'a-t-il entre la connexité et l'intérieur ?
Question simple -> Réponse simple : Ca n'a absolument rien à voir l'un avec l'autre.
Déjà, la connexité, comme la compacité, c'est une "notion absolue" qui concerne un espace topologique et qui n'a rien à voir avec l'éventuel espace ambiant dans lequel ton espace se situe : A=[0,1] (ensemble des réels entre 0 et 1) est connexe et y'a rien à rajouter.
Alors que la notion d'intérieur, comme celle d'être ouvert ou fermé, c'est une notion relative : si on prend l'intérieur de A vue comme sous espace de A, ben c'est évidement A, mais l'intérieur de A vu comme sous espace de R, c'est ]0,1[ et l'intérieur du même A vu comme sous espace de C, c'est l'ensemble vide.
Donc il ne risque pas d'y avoir une quelconque "passerelle" entre ces deux notions.

Le seul lien classique un peu de ce style, c'est le fait que, si une partie A d'un espace topo X est connexe, alors l'adhérence de A dans X est elle aussi connexe (mais par contre, c'est faux pour l'intérieur et c'est aussi faux pour la connexité par arc).
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par oumou » 16 Jan 2017, 22:02

@Ben314 est ce que vous pouviez me corrige l`autre exercice svp ? j` en ai vraiment bessoin

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par Lostounet » 17 Jan 2017, 00:11

@Ben: c'est noté, merci beaucoup !
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par jsvdb » 20 Jan 2017, 12:11

Bonjour à vous.

Et il y a un autre lien assez classique également : c'est que dans un espace vectoriel normé (à vérifier pour un métrique !), un ouvert est connexe par arc si et seulement si il est connexe.
Donc, en particulier, l'intérieur d'une partie d'un SEV est connexe ssi elle est connexe par arc.

Il faut bien comprendre que la connexité d'un espace topologique ne dépend que de sa topologie.

Sa connexité par arc dépend de sa topologie et de celle de celle que l'on met sur [0,1] (qui est évidemment la classique induite par la non moins classique topologie sur R)
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par oumou » 20 Jan 2017, 12:20

parlons de ca , comment on peut demontre ceci
soit (E,d) un espace metrique et A et Y deux partie de E telles que A inclus Y . , A est connexe dans Y imple que A est connexe dans E

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par jsvdb » 20 Jan 2017, 12:59

Tu vas transiter par la topologie induite.

A est connexe dans Y donc pour toute paire d'ouverts non vides I et J de Y, d'intersection vide et dont la réunion contient A, A inclus dans I ou A inclus dans J.

Mais alors
- il existe I' ouvert de E tel que I = I' inter Y
- il existe J' ouvert de E tel que J = J' inter Y

Tu considères :
I'' = I' - (I' inter J')
J'' = J' - (I' inter J')

A toi de conclure.

Tu noteras que je n'ai pas utilisé le fait que E soit métrique
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par oumou » 20 Jan 2017, 13:07

pourquoi vous n `avez pas utilise ?

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par jsvdb » 20 Jan 2017, 13:25

Parce que la connexité est une propriété purement topologique.
La topologie d'un espace métrique n'est qu'une topologie particulière sur cet espace.
Il pourrait y avoir n'importe quelle autre topologie, l'énoncé que tu donnes est encore vrai.
Si tu ne peux pas "casser" A dans deux ouverts de Y alors tu ne pourras pas plus "casser" A dans deux ouverts de E quelle que soit la topologie sur E.
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par mathelot » 20 Jan 2017, 14:21

]0;1[ est connexe pour la topologie usuelle et non connexe pour la topologie discrète
(issue de la métrique d1(x,y)=1 si sinon) selon laquelle tous les points sont des ouverts

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par jsvdb » 20 Jan 2017, 14:34

Tout-à-fait et si E = ]0,1[ est muni de la topologie discrète, soit Y inclus E avec topologie induite, alors :

- Toute partie de Y ayant au moins deux points est non connexe dans Y et est tout autant non connexe dans E.
- Inversement, toute partie de Y, ayant au plus un point, est connexe dans Y et l'est également dans E.

A nouveau, la métrique n'intervient pas directement.
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par Ben314 » 20 Jan 2017, 14:52

jsvdb a écrit:Et il y a un autre lien assez classique également : c'est que dans un espace vectoriel normé (à vérifier pour un métrique !), un ouvert est connexe par arc si et seulement si il est connexe.
Donc, en particulier, l'intérieur d'une partie d'un SEV est connexe ssi elle est connexe par arc.
J'avais pas vu ton message.
Concernant le passage en bleu, c'est en général faux pour un espace métrique quelconque et ça n'a rien a voir avec la notion de métrique.
En fait, pour qu'il y ait équivalence entre connexe et connexe par arc pour les ouverts d'un espace topo X il faut (et il suffit) que l'espace topo X soit "localement connexe par arc", c'est à dire que tout point x de X possède un système fondamental de voisinages connexes par arc (*)
La preuve de ce résultat est assez évidente et on peut l'appliquer sans soucis au cas des espaces vectoriels normés vu que les boules y sont clairement connexes par arc et donc que les boules ouvertes de centre x fournissent un système fondamental de voisinages connexes de x (donc tout e.v.n. est localement connexe par arc).
Mais par contre, il existe des espaces métriques non localement connexes par arc (par exemple Q muni de la métrique usuelle d(x,y)=|x-y|) et d'un autre coté, il existe des espaces topologiques localement connexes par arc qui ne sont pas métrisables (par exemple l'ensemble des fonctions de R->R muni de la topologie de la convergence simple)
(*) Oubli noté par jsvdb çi dessous.
Modifié en dernier par Ben314 le 20 Jan 2017, 15:13, modifié 3 fois.
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par Ben314 » 20 Jan 2017, 15:05

oumou a écrit:parlons de ca , comment on peut demontre ceci
soit (E,d) un espace metrique et A et Y deux partie de E telles que A inclus Y . , A est connexe dans Y imple que A est connexe dans E
Comme d'hab., je comprend pas trop le sens de la question (ni de la réponse donnée par jsvdb juste en dessous).
Je n'ai jamais vu nulle part de définition particulière de ce qu'est une partie connexe d'un espace topologique.
On commence par définir ce qu'est un espace topologique connexe, puis, à la limite, on dit qu'une partie A d'un espace topo X va être dite connexe lorsque A muni de la topo induite par celle de X est un espace connexe, mais on peut aussi considérer que c'est pas la peine de poser une nouvelle définition pour ça vu que ça coule complètement de source une fois qu'on a vu qu'une partie A d'un espace topo X peut elle même être vue comme un espace topologique.
Et arrivé à ce point là, je vois vraiment pas ce que ça peut vouloir dire que de démontrer A est connexe dans Y équivaut à A est connexe dans E, sauf à démontrer (ce qui n'a rien a voir et aurai dû être fait longtemps avant au moment où on définie la notion de topologie induite sur une partie), que lorsque , la topo. induite sur A par celle de E coïncide avec celle induite par celle de Y (où celle de Y est la topo induite par celle de E).
Modifié en dernier par Ben314 le 20 Jan 2017, 15:11, modifié 1 fois.
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par jsvdb » 20 Jan 2017, 15:09

Yeep, merci ben.

Effectivement ça n'a pas pas de rapport avec la métrique. Ce qui prouve bien que la connexité est purement topologique.

Par contre tu as bien voulu dire ceci :
"localement connexe par arc", c'est à dire que tout point x de X possède un système fondamental de voisinages connexes par arc.

et non
"localement connexe par arc", c'est à dire que tout point x de X possède un système fondamental de voisinages connexes.

?
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par Ben314 » 20 Jan 2017, 15:14

Tout à fait : j'ai effectivement oublié le (très important) "par arc" dans la définition.

Sinon, pour ceux peu familier avec la notion en question, un "contre exemple" pas complètement évident à trouver, c'est celui d'un espace topo qui soit connexe par arc, mais non localement connexe par arc voir même non localement connexe.
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