Exercice topologie

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oumou
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exercice topologie

par oumou » 16 Jan 2017, 18:30

ooo.jpg
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Bonjours , je ne suis pas vraiment convaincu de mes reponses du coup j`aurais bessoin de votre aide .

1- je n`ai pas compris
2- d`apres la question precedent il existe une suite an appartient A tq d(an, x)= 0 ce qui nous donne d(x,A) = 0
3- d(x,A) =< d(x,y)+ d(y,A) alors d(x,A) - d(y,A) =< d(x,y)
d(y,A) =< d(y,x)+ d(x,A) alors d(x,A) -d(y,A) >= - d(x,y)

CL: abs(d(x,A)+ d(y,A) ) =< d(x,y)
4- * supposons que il existe deux ouvert disjoint U et V de E tels que Ainclus U et B inclus V

V inter U = vide implique A inter B = vide implique bar A inter B = Ainter bar B = vide

* supposons bar A inter B = Ainter bar B = vide
d(x,A) = 0 ssi x appartient barA et d(x,B) = 0 ssi x appartient barB
il existe r1>0 tq b(x,r1) inter A vide et il existe r2>0 tq b(x,r2) inter B vide
par hypothese b(x,r1) inter B = vide , b(x,r2) inter A

5- Q (x) = d(A,B) et Q est bien et bel continue car la distance est toujours continue
je n`ai pas compris
Modifié en dernier par oumou le 18 Jan 2017, 20:58, modifié 2 fois.



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zygomatique
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Re: exercice topologie

par zygomatique » 16 Jan 2017, 23:05

énoncé illisible ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

samoufar
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Re: exercice topologie

par samoufar » 17 Jan 2017, 01:35

Bonsoir,

Outre le manque de rédaction dans tes solutions (il manque des "soit x..." partout par exemple), il y a beaucoup d'erreurs de raisonnements ou de preuves escamotées.

Question 1.
C'est du cours, normalement. Sinon, en écrivant la définition de l'adhérence, raisonne par double implication, ça marche tout seul.

Question 2.
D'abord, qu'est-ce que ? Ensuite (en supposant que ), , non ? Il faut plutôt écrire quelque chose comme .

Question 3.
Quelques arguments de passage à la borne inférieure passés sous silence (mais qui ne devraient pas l'être a priori). De plus, tu répètes le même argument deux fois dans ta réponse :)

Question 4.
Alors là, ça se complique. Déjà la rédaction est catastrophique :) Ensuite
Il y a une erreur de raisonnement. Pour toi, comme , on a ?
Si on te donne une indication, c'est bien que ça sert à quelque chose, non ? C'est vrai que tu peux attraper le résultat directement, mais bon... Demandes-toi plutôt ce qu'apporte l'hypothèse à cette application (par exemple les valeurs qu'elle prend en des points particuliers) ou encore quelles sont ses propriétés (la continuité par exemple).

Question 5.
Que signifie ? L'énoncé définit bien la distance d'un point à une partie, mais la distance d'une partie à une autre... Au passage, on t'a presque donné l'application une ligne au-dessus, et le raisonnement est globalement le même.

oumou
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Re: exercice topologie.

par oumou » 17 Jan 2017, 07:07

Question 1
absolument il est claire que c`est la caracterisation de l` adhrence par des suites mais comme vous le voyez on me reclame la demo

Question 3
pas du tout , je ne repete pas deux fois mon argument c`est juste que je decompose mon inegalite en deux
Question 4
* ben ouais comme les deux ouverts sont disjoint alors forcement A ne pourait pas se retrouve dans V et vice versa
*la je ne sais plus , explique moi ?svp
Question 5
desole je fais une erreur de tapage , je voulais plus ecrire Q(x) = d(x, A) et ceci est bien continue

samoufar
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Re: exercice topologie

par samoufar » 17 Jan 2017, 23:48

Bon je vais quand même donner des indications plus poussées...

Question 1.
Normalement, vous avez du définir l'adhérence par (ou plus formellement ).
Construis ta suite en choisissant des valeurs judicieuses de .
Écris la définition de la limite si ça ne te paraît pas immédiat...

Question 3.
Outre le fait que je n'aie pas remarqué l'erreur de raisonnement (ou faute de frappe peut-être)
d(y,A) =< d(y,x)+ d(x,A) alors d(x,A) -d(y,A) >= - d(y,A)

je pense qu'il s'agit un copier-coller de la ligne du dessus en changeant en . Autrement dit, c'est le même argument répété deux fois :)

Question 4.
Ce qui me gêne dans le raisonnement, c'est le

d'où mon contre-exemple.
Et puis l'argument de ton deuxième post est du type "ben ça marche parce que ça se voit", ce qui n'est pas recevable :)
Essaies plutôt de voir ça avec des voisinages. Par exemple si je prends , je sais qu'il est dans , donc qu'il existe tout un voisinage de dans donc tel que . De là tu peux conclure (il reste des choses à dire quand même) que . Pareil pour ...
C'est vrai que ça n'est pas évident. On peut découper le problème en trois.
1. Montrer que cette application est continue sur E.
2. Que dire du signe de cette application sur A et sur B ?
3. Conclure. (indication : l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est...)

Question 5.
D'accord pour la faute de frappe. Mais bon vu que et sont quelconques, il y a peu de chances pour que (ou plutôt pour garder les notations de l'énoncé) vaille 1 sur .
Ton application doit valoir 0 sur A donc doit probablement être de la forme x->d(x,A)*f(x). Puis elle doit valoir 1 sur B, donc pour on a . Sauf que le dénominateur ainsi obtenu ne doit pas s'annuler, donc il faut l'ajuster un peu...
Pour conclure, il faut appliquer le même raisonnement qu'à la question 4. (c'est essentiellement la même chose...).

oumou
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Re: exercice topologie

par oumou » 18 Jan 2017, 11:04

question 1
* comme toute boule de centre x rencotre A alors il existe pour tout an appartient A inter B(x,r) d`ou la suite an cv vers x

* tout voisinage de x contient un element de la suite an et donc un point de A . or ce dernier c`est la caracterisation de l `adherence

question 3
je dois montre ceci nespas ?
si ce le cas je juste decompose mon inegalite en deux .

question 4

*comme u et v sont des ouvert disjoint alors leur intersection est vide non ? de meme pour A inter U = 0 et B inter V = 0

* f est bien continue en E car toute distance est continue
le signe est strictement positive
'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert
donc il existe deux ouvert disjoint U et V tels que A inclus U et B inclus V

question 5

Q (x) = d(x,A) / d(x,B)
l`image reciproque d`un ferme d`une application continue est un ferme equivalent a dire aussi a dire l `image reciproque d` ouvert d`une application continue est un ouvert alors il existe deux ouvert disjoints U et V de E

samoufar
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Re: exercice topologie

par samoufar » 18 Jan 2017, 15:40

Question 1.
Ce que tu as écrit est incompréhensible
il existe pour tout an appartient A inter B(x,r)

Qu'est-ce que ? ? Je t'ai dit de choisir des valeurs judicieuses de (ou si tu préfères), en l'occurence des de plus en plus petits, afin de construire ta suite...

Question 3.
Qu'est-ce que ? Tu dois montrer : . Pour ça tu peux effectivement procéder comme tu as fait, mais ça ne sert à rien de le faire deux fois. Tu montres par exemple que et tu dis qu'on obtient en échangeant et ...

Question 4.
Oui, sauf que tu ne montres rien en disant ça. À la suite de ton raisonnement, j'ai envie de te demander "comment tu passes de à ?" Et c'est à peu près ce qu'on te demande dans la question... Dans mon post précédent je t'ai quasiment donné la réponse d'ailleurs...
Beaucoup de choses à reprendre...
f est bien continue en E car toute distance est continue

OK
le signe est strictement positive

Tu es sûr ? Donc si je prends je trouve ... Strictement positive quelque part certes, mais surement pas sur tout entier...
'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert

Oui, et comment tu peux appliquer ça pour répondre à la question ? Bon, l'application continue, on l'a. Ensuite il reste à trouver les ouverts puis à voir leur image réciproque par l'application, et de regarder leur position par rapport à et .

Question 5.
Je vais peut-être me répéter, mais... est-ce que cette application vaut 1 sur A ? Est-ce qu'elle est au moins définie sur B ? J'en doute... Quand je dis
Sauf que le dénominateur ainsi obtenu ne doit pas s'annuler, donc il faut l'ajuster un peu...

j'insinue qu'il faut certainement lui ajouter la bonne quantité, afin d'être sûr qu'il ne s'annule pas. Et le terme que je dois ajouter doit s'annuler sur B (là, j'ai presque tout dit...). Pour la conclusion, pareil qu'à la question 4 (considérer par exemple l'image réciproque des ouverts et par )...

oumou
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Re: exercice topologie

par oumou » 18 Jan 2017, 21:31

question 1
an est une suite et r le rayon de la boule d`ouvert

question 3
c`est une erreur desole !!! sinn d`accord

question 4
*pour tout x B , il existe tout un voisinage Vx de x dans v tel que Vx inter A = vide implique x n`appartient pas bar A implique que bar A inter B = vide
similaire pour B
* je sais pas !!! je suis perdu

question 5

Q(x) = d(x,A) /d(A,B)

samoufar
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Re: exercice topologie

par samoufar » 18 Jan 2017, 22:30

Bon là je crois que ça devrait (presque) y aller :)

Question 1.
Oui, ça je l'avais compris... Le problème est de CONSTRUIRE la suite . Je t'ai déjà dit comment le faire: prends par exemple pour et construis ta suite en prenant (en justifiant pourquoi c'est possible)...
C'est l'idée...

Question 3.
OK...

Question 4.
OK...
Je t'ai dit de raisonner en trois points
1. (comme tu l'appelles) est bien continue sur E, mais pas parce que c'est une distance (ça n'en est pas une d'ailleurs...). C'est la question 3 qui te le dit...
2. Pour , et pour , . Donc et .
3. Donc et . Or l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est ... donc en posant et , ouverts et disjoints, on a ...

Question 5.
Encore une fois, qu'est-ce que ? Si ça n'était pas clair dans mon post précédent, je t'ai conseillé de chercher telle que pour tout et telle que s'annule sur . Dans le contexte de l'exercice, des applications comme ça, je n'en vois pas beaucoup...

N.B.
Fais extrêmement attention à la rédaction par contre, n'oublie pas les "Soit " ou "Notons ..." et surtout écris "donc" à la place de "implique" parce que ça ne veut pas dire la même chose en mathématiques (par exemple, bien que ta réponse à la question 4 soit correcte dans le fond, la rédaction laisse fort à désirer)...

oumou
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Re: exercice topologie

par oumou » 19 Jan 2017, 00:01

A appartient f^(-1)(]0,+00[) et B appartient f^(-1)(]-00, 0[)
U = ]0,+00[ et v=]-00,0[

question 5

d(x,A) / (d(x,A) + d(x,bar B))

samoufar
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Re: exercice topologie

par samoufar » 19 Jan 2017, 00:22

Question 4.
OK pour le raisonnement... Par contre je crois que tu as oublié de justifier la continuité de .

Question 5.
Ok, mais est fermé d'après l'énoncé donc tu peux réécrire plus simplement . Il reste donc à vérifier que est bien définie, continue, qu'elle vérifie ce que demande l'énoncé, et conclure exactement comme à la question 4...

Voilà :)

oumou
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Re: exercice topologie

par oumou » 19 Jan 2017, 00:25

merci infiniment

 

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