Inversion de matrice et résolution d'équation

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ralph6512
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Inversion de matrice et résolution d'équation

par ralph6512 » 16 Jan 2017, 12:13

Bonjour,

En travaillant ma mécanique, je suis arrivé sur cette affirmation (de Wikipédia) :

En algèbre linéaire, une matrice carrée est dite singulière si elle n'est pas inversible. Par conséquent, un système d'équations représenté par une matrice singulière n'admet pas de solution unique, car on ne peut pas l'inverser.

Et sur ce point j'avais deux questions :
  • En quoi le fait d'être capable d'inverser une matrice serait-il représentatif de la capacité à résoudre une équation ?
  • On m'a aussi affirmé que d'une manière similaire, pour toute matrice formée par combinaison de vecteurs dans une base orthonomée, la transposée serait obligatoirement égale à l'inverse. Est ce vrai ?

Je connais la formule pour inverser une matrice (inverse du déterminant*transposée du cofacteur) mais j'ai vraiment du mal à faire le lien dans tout ça...

Merci pour votre aide !



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Ben314
Le Ben
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Re: Inversion de matrice et résolution d'équation

par Ben314 » 16 Jan 2017, 13:28

Salut,
Concernant la question 1, lorsque tu as un système d'équations linéaires (et pas une équation comme tu l'a écrit), ça veut très exactement dire que tu as sous les yeux un truc de la forme AX=B où A est une matrice nxm connue, B un vecteur colonne nx1 connu et X un vecteur colonne mx1 inconnu.
Et évidement, partant de AX=B où X est l'inconnue, le premier truc qui vient à l'esprit, c'est d'écrire que la solution est (donc elle est unique). Ce qui est parfaitement valable... à condition que A soit inversible...
Par contre, si A est une matrice carrée qui n'est pas inversible, on peut montrer qu'il va forcément y avoir une infinité de solutions à l'équation (en Y) AY=0 (ou 0=vecteur nul).
Et on en déduit que, si jamais l'équation AX=B admet une solution Xo, alors tout X de la forme X=Xo+Y où Y est une solution de AY=0 va lui aussi être solution de AX=B car A(Xo+Y)=AXo+AY=B+0=B. Et celà signifie que, si l'équation AX=B admet une solution, alors elle en a une infinité. Dit autrement, ça veut dire que AX=B admet soit zéro, soit une infinité de solutions.

Concernant la deuxième question, effectivement, si tu considère une matrice A dont les vecteurs colonne V1,V2,...,Vn forment une base orthonormée de l'espace, ça signifie que le produit scalaire Vi.Vj vaut 1 si i=j et 0 sinon et tu vérifie que, vu la règle du produit matriciel (lignes par colonnes) ça signifie très exactement que la transposée de A multipliée par A c'est la matrice identité. Donc l'inverse de A, c'est bien sa transposée et c'est "zéro théorique" (et ça n'a a priori rien à voir avec la formule théorique de l'inverse utilisant les déterminants et les cofacteurs)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

ralph6512
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Re: Inversion de matrice et résolution d'équation

par ralph6512 » 16 Jan 2017, 15:38

J'ai bien compris la nécessité de pouvoir inverser une matrice pour résoudre un système d'équation, mais je n'ai pas compris pourquoi tu fais intervenir un Y et Xo par la suite. Je vais peut-être juste l'admettre (si c'est uniquement des maths pures...).

Egalement, j'ai bien compris la logique identité = tA*A=(A^-1)*A dans le cadre d'une base orthonormée.

Merci pour tes explications !!

 

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