Analyse : lien entre uniforme continuité et dérivée
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vjjhgj
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par vjjhgj » 14 Jan 2017, 17:10
Bonjour !
Je me demandais si il était vrai de dire que :
"la fonction est uniformément continue sur I" et "la dérivée de la fonction est bornée sur I" sont des propositions équivalentes, dans le cadre de fonctions dérivables évidemment, et avec I un intervalle ouvert, une fonction dérivable étant uniformément continue sur un intervalle fermé (si je ne me trompes pas...).
L'équivalence me semble vraie mais je n'arrive pas à la montrer.
Quelqu'un peut m'aider ?
Merci d'avance.
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L.A.
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par L.A. » 14 Jan 2017, 17:52
Bonjour,
une fonction f dont la dérivée est bornée est lipschitzienne donc uniformément continue (écrire f(y)-f(x) sous forme d'intégrale).
En revanche, la fonction
sur
est uniformément continue (elle est continue sur le compact
) mais sa dérivée
n'est pas bornée (elle tend vers l'infini mais très lentement au voisinage de 0).
Il faudrait donc remplacer "uniformément continue" par "lipschitzienne", et là ça marche.
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vjjhgj
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par vjjhgj » 14 Jan 2017, 18:05
D'accord merci beaucoup pour cette réponse !
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vjjhgj
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par vjjhgj » 16 Jan 2017, 00:48
Et aurais-tu une idée pour démontrer l'équivalence fonction liepschitz/dérivée bornée ?
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L.A.
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par L.A. » 16 Jan 2017, 11:46
Soit
alors
=> utiliser
.
<= montrer que tous les taux de variation de
en
sont bornés par
et en déduire que
aussi.
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Pseuda
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par Pseuda » 16 Jan 2017, 12:32
Bonjour,
Ou bien : taux d'accroissement et passage à la limite : pour
donné dans I,
, donc limite quand
, donc
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vjjhgj
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par vjjhgj » 16 Jan 2017, 16:08
Merci beaucoup à vous deux j'ai compris maintenant !
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vjjhgj
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par vjjhgj » 17 Jan 2017, 14:41
Ca m'a merveilleusement servi pendant mes partielles d'analyse encore merci !
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