Les application lineare

[yeussf121]

salut , s'il vous plait , j'a besoin d'une aide a trouver l'image de cette application
f(x,y,z,t)=(1/2x+1/2y-t,-1/2x-1/2y-t,-1/2x+3/2y+z-2t,-1/2x-1/2y+t) ,

[capitaine nuggets]

Salut !

Qu'as tu essayé de faire ? Qu'as-tu vu en cours par rapport à l'image d'une application linéaire ?

[yeussf121]

normalement on considere un H(X,Y,Z,T) appartient a limage de f , donc ca nous donnera 1/2x+1/2y-t=X , -1/2x-1/2y-t=Y , -1/2x+3/2y+z-2t=Z et -1/2x-1/2y+t = T , et on doit trouver une equation qui contiennt X , Y , Z et T ou bien de trouver x , y , z et t en fonction de X,Y,Z,T , j'ai essaié mais rien du tout

[capitaine nuggets]

Oui, c'est ça, c'est comme pour déterminer une base du noyau, il suffit de trianguler le système. L'image serait décrite par les équations en trop contenant uniquement X, Y, Z et T.

[zygomatique]

salut

écriture ambiguë, pas d'espace ... médiocrité quoi ...

f(x, y, z, t) = (x/2+ y/2 - t, -x/2 - y/2 - t, -x/2+ 3y/2 + z -2t, -x/2 - y/2 + t) = x(1/2, -1/2, -1/2, -1/2) + y(1/2, -1/2, 3/2, -1/2) + z(0, 0, 1, 0) + t(-1, -1, -2, 1)

il est donc élémentaire de déterminer Im f ...


autre méthode : calculer f(1, 0, 0,0), f(0, 1, 0, 0), f(0, 0, 1, 0) et f(0, 0, 0, 1) .... (image d'une base) puisque f est linéaire ....

[yeussf121]

salut

écriture ambiguë, pas d'espace ... médiocrité quoi ...

f(x, y, z, t) = (x/2+ y/2 - t, -x/2 - y/2 - t, -x/2+ 3y/2 + z -2t, -x/2 - y/2 + t) = x(1/2, -1/2, -1/2, -1/2) + y(1/2, -1/2, 3/2, -1/2) + z(0, 0, 1, 0) + t(-1, -1, -2, 1)

il est donc élémentaire de déterminer Im f ...


autre méthode : calculer f(1, 0, 0,0), f(0, 1, 0, 0), f(0, 0, 1, 0) et f(0, 0, 0, 1) .... (image d'une base) puisque f est linéaire ....

, peux-tu m'expliquer pourquoi il est elementaire de determiner im f sur ce cas , parceque j'ai pas compris quoi faire aprés ce que tu fais .
mais si on calcule image d'une base ca donnera quoi ??

[zygomatique]

connais-tu les (sous-)espaces vectoriels engendrés par une famille de vecteurs ?

sais-tu ce qu'est une famille, génératrice, libre, base ?

...

[yeussf121]

oui oui je connais bien ca , mais en habitude , on trouve une equation et je sais bien ce que tu veux dire , tu veux dire que l'image c'est le vect de ((1/2, -1/2, -1/2, -1/2) , (1/2, -1/2, 3/2, -1/2) , (0, 0, 1, 0) + t(-1, -1, -2, 1)) mais ce que j'ai pas compris c'est pourquoi on a pas consider un x appartient a l'image de f et d'essayer aprés ca de trouver l'equation qui forme un S,E,V .
oui je sais bien que une base est une famille libre et génératrice , mais quelle la relation de ca et ce qu'on veut trouver ?

[Carpate]

Ces vecteurs déterminent le sous-espace vectoriel image de f
Il te faut trouver une base de ce sous-espace et donc le rang de l'application

[zygomatique]

f(x, y, z, t) = (x/2+ y/2 - t, -x/2 - y/2 - t, -x/2+ 3y/2 + z -2t, -x/2 - y/2 + t) = x(1/2, -1/2, -1/2, -1/2) + y(1/2, -1/2, 3/2, -1/2) + z(0, 0, 1, 0) + t(-1, -1, -2, 1)

il est donc élémentaire de déterminer Im f ...

donc f(x, y, z, t) = xa + yb + zc + td

et x, y, z et t varient dans R donc Im f = vect (a, b, c, d)