Inégalité de Bessel

[Ncdk]

Bonsoir !

Soit et une famille orthonormé et où est un espace de Hilbert.

1-
2-

Je dois montrer ces deux choses, j'ai réussi le premier point, mais déjà une chose me turlupine et je sais pas l'expliquer.

Pour le 1- j'ai développé :

Donc j'ai commencé : .

Ma question est pourquoi on se force à ré-indicer la somme (c'est souvent comme ça) mais je sais pas pourquoi on le fait, ça me parait pas évident.

2- C'est sur ce point que je bloque, j'ai comme indication : se servir de 1) et une suite croissante majorée à une limite. Je voulais commencer par passer à la limite l'équation 1- lorsque n tend vers l'infini.
Mais je ne vois pas en quoi l'indication va m'aider

[jlb]

Salut, bah, tu suis les étapes donnée!! A partir de 1) tu as l'inégalité pour tout n en minorant ||u||²- somme de ....

Et ensuite tu constates que la série proposée est à termes positifs et que les sommes partielles sont majorées, la suite des sommes partielles est donc croissante et majorée et donc elle converge et sa limite vérifie l'inégalité.

[Lostounet]

Le 1)a ressemble beaucoup au théorème de Pythagore

[Ncdk]

@jlb

J'ai pas compris ce que tu m'as dit, enfin pas tout du moins ^^

@Lostounet

Oui, ça y ressemble, enfin la preuve du théorème de Pythagore m'a bien aidé pour faire le 1), du moins l'idée de départ, celle avec l'indice j au lieu de k (que je comprends pas )

[zygomatique]

salut

il manque une donnée essentielle dans l'énoncé !!!

qui sont les e_k ?

et pourquoi changer les k en j dans la ligne de calcul ?

[Ncdk]

Oh oui merci, j'ai oublié de le marquer, c'est une famille orthonormé ! J’édite mon post

C'est exactement la question que je me pose, je vois dans les preuves ce genre de changement et c'est qu'à la fin où on remet k à la place de j et j'avoue je comprends absolument pas.

[zygomatique]

.

c'est au moment de développer ce produit scalaire qu'il faudra éventuellement faire un changement d'indice ... et encore ... maintenant que tu as complété avec l'information essentielle sur les e_k

[jlb]

Pour tout naturel n différent de 0,

*

Du coup la série est à termes positifs et ses sommes partielles sont majorées d'après * par ||u||² . La série est donc convergente et sa somme vérifie l'inégalité vérifiée par les sommes partielles.

[Ben314]

Salut,
L'histoire du changement d'indice, c'est con comme la lune :
Dans un contexte absolument quelconque, lorsque tu as un truc du style où est bilinéaire et que tu veut "sortir" les symboles , ben si tu écrit que ça vaut , ça veut évidement absolument rien dire du tout vu que ça a aucun sens "d'enquiller" des symboles portant sur les mêmes variables.

Pour te donner le cas le plus simple possible de forme bilinéaire, il n'y a qu'à prendre le produit sur R :
Le produit , ça a parfaitement du sens de l'écrire sous la forme avec deux fois le même indice (dans des parenthèses différentes).
Mais, si on développe ce produit, ça donne .
Et est-ce que tu pense que c'est futé d'écrire ça sous la forme : ?

Bref, si on veut développer le produit , ben y'a pas le choix, il faut absolument écrire que c'est avec deux indices différents.

[Ncdk]

@Ben314 :

Merci, c'est beaucoup plus clair, c'est vrai qu'il y a une bonne logique derrière, l'exemple est super et comme tu l'as dis, quand on "sort" les sommes du produit scalaire, on risque de se retrouver avec les deux sommes dépendant de k et c'est la question que je me suis posé : Que signifie une double somme dépendant du même paramètre ^^

@Zygomatique :

C'est vrai que maintenant c'est plus clair avec l'aide de Ben, je comprend mieux l'intérêt du changement d'indice.

@jlb :

Ah oui je comprends mieux, merci de ton aide en tout cas