Lostounet a écrit:Il me semble donc que l'ensemble S(k) des solutions de PA=BP dans Mn(k) est inclus dans l'ensemble S(K) des solutions de PA=BP dans Mn(K) ?
Ca c'est une "trivialité triviale" qui ne risque pas franchement de t'avancer à grand chose...
Ce qu'il faut voir, c'est que les solutions de PA=BP dans Mn(#), ben c'est un sous-espace vectoriel de Mn(#) vu en temps qu'espace vectoriel sur #.
Et la dimension de ce s.e.v.
ne dépend pas du corps sur lequel on résous le système : ça peut se voir
- Soit avec des "gros mots" en regardant la matrice (à valeurs dans k) associée au système : c'est évidement la même matrice que l'on résolve le problème dans Mn(k) ou dans Mn(K) et la dimension (sur le corps choisi) de l'e.v. des solution se lit dans la matrice via les sous déterminant de la matrice qui donnent le rang de la matrice.
- Soit totalement "à la main" en disant tout bêtement que lorsque l'on résous le système à l'aide du Pivot de gauss, on ne fait que des +, - , *, / donc si les coeff. sont dans k, on reste dans k du début à la fin et qu'à la fin, la dimension du s.e.v. des solutions est donnée par le nombre d'inconnues "non principales" qu'il te reste.
Bref, les solutions dans Mn(k) de PA=BP, c'est un s.e.v. de Mn(k) de dimension disons
ayant comme base
qui sont dans Mn(k) donc les solutions du système, c'est les
avec
.
Et les solutions dans Mn(K) de PA=BP, ben c'est les
avec
.
Jusque là, à mon sens, c'est quand même du "on ne peut plus élémentaire" vu que ça veut juste dire qu'on a compris la méthode du pivot de Gauss.
Par contre, là où c'est pas mal moins évident, c'est de montrer que s'il y a une solution P dans Mn(K)
qui soit inversible alors il y en a aussi une dans Mn(k) qui est inversible.
Le seul truc qui me vient à l'esprit, c'est de considérer le polynôme
=\text{det}(\lambda_1P_1+\cdots +\lambda_dP_d))
(à coeff dans k, en
variables, homogène de degrè
) .
En supposant que k est un corps infini, si
était nul sur
alors tout ces coefficients seraient nuls et il serait donc tout aussi nul sur
ce qui est faux par hypothèse.
Si k est fini, je sais que le résultat est encore vrai (vu qu'on peut le démontrer en utilisant d'autres outils), mais je ne vois rien d'immédiat comme preuve...
