Les tiroirs de Dirichlet

[zouenzo]

Bonjour, j'aurais encore besoin de vous pour un exo qui me pose problème.

S1, S2, S3 ... et S8 sont huits entiers naturels définis par :
S1 = 1
S2 = 11
S3 = 111
...
S8 = 11 111 111

1.a. Démontrer que parmis ces huit entiers, il y en a 2 au moins qui ont le même reste dans la division par 7.
Là j'ai dit qu'il y avait 7 restes possible dans la division par 7 : 0;1; 2;3;4;5;6
Il y a 8 entiers et 7 restes donc deux entiers vont forcément avoir le même reste.

b. On note Sp et Sp' ces deux entiers avec 1 inférieur ou égal à p, inférieur à p', inférieur ou égal à 8.
Démontrer que Sp'-Sp divisible par 7

Là j'ai fait
Sp et Sp' ont le même reste dans la division par 7 alors
Sp = 7k + r
Sp' = 7k' + r
Alors Sp'-Sp = 7k' + r - 7k - r = 7k' - 7k
et 7 divise 7k'
7 divise 7k
Alors 7 divise 7k' - 7k, donc 7 divise Sp' - Sp

2. Démontrer l'existence d'un entier naturel divisible par 7 et dont l'écriture décimale ne contient que des 0 ou des 1.

3.Généralisation
Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe un entier naturel divisible par n dont l'écriture décimale ne contient que des 0 ou des 1.

Donc pour ces deux dernières questions je suis perdue, je trouve pas, vous pourriez m'aider? merci beaucoup

[BancH]

Pour la question 2:

Soit le reste de la division euclidienne de par









Il suffit alors de prendre un exemple:
est divisible par

[zouenzo]

ok merci beaucoup j'ai compri la 2 :)
vous auriez une piste pour la 3?