L2 - Probabilités

[Alpeys]

Bonjour,

J'ai une question, je n'arrive pas à démontrer la formule de l'espérance ( et de la variance ) d'une loi normale.

J'essaie de montrer que l'intégrale de tf(t)dt donne M avec f la densité de la loi normale.

Cordialement,
alpeys.

[Lostounet]

Salut,

Tu peux commencer par calculer la valeur de la gaussienne de la normale centrée réduite (qui n'est pas tout à fait simple si on ne sait pas qu'il faut calculer son carré et utiliser le théorème de Fubini puis faire un changement de variable polaire)... tu dois trouver 1 (vu que c'est une densité de probas)
Comme ici: https://www.youtube.com/watch?v=PaF9EkNpfXg

Ensuite on doit essayer de se ramener au calcul précédent (si tu veux on peut l'admettre!) pour le calcul de l'espérance (en manipulant l'intégrale par un changement de variables et en utilisant la parité plusieurs fois). Je peux te montrer le calcul si tu veux..!

[Alpeys]

Merci de ta réponse, je ne l'ai pas fait comme ça ( d'ailleurs la méthode que tu m'as écrite est géniale, mais loin d'être au programme^^.

Je suis parti différemment:
sachant que Y=(X-m) / o suit une N(0;1)

J'ai calculé E[Y]et j'ai posé E[X] = oE[Y] + m et c'est allé vite

merci quand même de la réponse

[Lostounet]

Merci de ta réponse, je ne l'ai pas fait comme ça ( d'ailleurs la méthode que tu m'as écrite est géniale, mais loin d'être au programme^^.

Je suis parti différemment:
sachant que Y=(X-m) / o suit une N(0;1)

J'ai calculé E[Y]et j'ai posé E[X] = oE[Y] + m et c'est allé vite
)

Je ne suis pas (encore) convaincu.
La raison pour laquelle c'est allé vite est que tu as utilisé:

1) la formule E(aX + b ) = aE(X) + b mais tu as oublié que l'espérance est une intégrale (généralisée !). Donc ceci est une sorte de changement de variable dans une intégrale (qu'on peut un peu chercher à justifier). Je te rappelle que certaines lois comme la loi de Cauchy n'ont pas d'espérance.

2) Tu as aussi utilisé (sans le justifier) que E(Y) existe et vaut 0 ie que

Bref, il y a des trucs "cachés" sous ces formules, elles ne sont simples qu'en apparence.

Je ne dis pas que c'est plus difficile, mais tu as tout simplement un peu "caché sous le tapis": tes arguments ne sont pas vraiment des démonstrations (à moins de bien connaitre les objets manipulés). Il faut bien qu'il y ait un vrai calcul d'intégrale quelque part si tu veux une preuve, non?