Extensions/groupes cycliques

[Lostounet]

Re Ben,

J'ai résolu par exemple pour (0,1) j'ai obtenu deux équations diophantiennes pour lesquelles j'ai eu quelque chose comme: x = 18n y=2n
17n=1 (mod 20)

Puis j'ai trouvé l'inverse de 17 modulo 20 etc.
Puis je fais pareil pour l'autre ?

[Ben314]

J'aimerais bien savoir comment tu t'y est pris, en particulier pour trouver ton fameux 17. . .

Sauf que c'est à dire , avec c'est pas trop possible vu que 1 est pas trop divisible par 5...

Et la raison "un peu théorique" pour laquelle c'est assez clair que ça va déconner, c'est que le déterminant de la matrice sous jacente au système çi dessus, ben elle a comme déterminant 5 qui n'est pas inversible modulo 20 donc ça va forcément poser des problème si on cherce à l'inverser (modulo 20 bien sûr).

[Lostounet]

Vu comme ça, pour rectifier le tir... il faut essayer d'avoir un déterminant multiple de 20?

[Lostounet]

A vrai dire il y a apparemment un moyen "rapide" de répondre à l'exo en voyant que (4 + 8i)Z[i] est un Z-module libre de rang 2. Et on écrit que Z[i] est isomorphe à Z + Zi (somme directe) , Z module libre de rang 2 donc
Z[i]/(4 + 8i)Z[i] est isomorphe au conoyau... (etc)

Mais j'y comprends quasi rien donc je continue sur ta voie, Ben.

[Ben314]

A vrai dire il y a apparemment un moyen "rapide" de répondre à l'exo en voyant que (4 + 8i)Z[i] est un Z-module libre de rang 2. Et on écrit que Z[i] est isomorphe à Z + Zi (somme directe) , Z module libre de rang 2 donc
Z[i]/(4 + 8i)Z[i] est isomorphe au conoyau...

Je pense pas qu'avec ça tu puisse réponde vu que l'exo demande explicitement les valeurs de n, m et l'isomorphisme.

[Lostounet]

A vrai dire il y a apparemment un moyen "rapide" de répondre à l'exo en voyant que (4 + 8i)Z[i] est un Z-module libre de rang 2. Et on écrit que Z[i] est isomorphe à Z + Zi (somme directe) , Z module libre de rang 2 donc
Z[i]/(4 + 8i)Z[i] est isomorphe au conoyau...

Je pense pas qu'avec ça tu puisse réponde vu que l'exo demande explicitement les valeurs de n, m et l'isomorphisme.

Oui, ensuite ils ont procédé à une transformation de la matrice par opérations:
4 -8
8 4
(c'est comme s'ils faisaient le produit de 1 et i par (4 + 8i) pour la trouver)
en:

4 0
0 20

Et ils ont déduit n = 4 et m = 20... sorcellerie.
Ou est le matheux philosophe?

[Ben314]

Bon, vu que tu as l'air d'être passé à autre chose, je vais mettre la réponse (histoire qu'elle y soit).
Le morphisme en question n'est pas surjectif, et c'est pas étonnant vu qu'avant de se lancer dans de "l'agébrisation" du bidule (i.e. avant de l'écrire sous forme théorique), ben il aurait peut-être falu commencer par... résoudre le système...
Donc pour repartir du début :



Et on montre ensuite les doigts dans le nez que le morphisme
est surjectif donc qu'en passant au quotient, il fourni l'isomorphisme demandé.

[Ben314]

Tu veut chercher la suite :

Trouver une CNS sur a et b pour que soit un groupe cyclique

ou tu veut la soluce ?
(il y a un sens facile où ça marche avec la même méthode que çi dessus, voire même plus simple, par contre, pour la réciproque, c'est quand même plus rapide de parler de Z-modules si on veut pas se paumer)