Irréductibilité d'un polynôme

[David R.]

Bonjour,

Je souhaite prouver l'irréductibilité du polynôme sur , où tous les sont des entiers distincts. Je n'ai vraiment aucune idée par où attaquer ce problème. Je connais le critère d'Eisenstein, mais je doute que cela me soit utile ici.

Des idées pour m'aider?
Merci d'avance,
David

[Ben314]

Salut,
Comme et qu'il est unitaire (donc a un contenu égal à 1), s'il se factorise dans , c'est qu'il se factorise aussi en produit de facteurs unitaires de .
Or, si avec , alors, pour tout , on a et, comme et sont des entiers, cela signifie que ou bien .
Quitte à renuméroter les on peut supposer que le premier cas se produit pour et le second pour .
Qu'en déduit tu concernant et ?
Conclusion.

[David R.]

S'ils sont tous les deux non constants, alors ils ont au moins n-2 minimaux ou maximaux locaux, donc de degrés au moins n-1, ce qui est impossible pour n>2. Est-ce bien ça?

Merci beaucoup!

[Ben314]

Déjà, je suis pas très certain que ce soit malin de raisonner en terme de minima/maxima locaux lorsque l'on fait de l'arithmétique sur les polynômes, surtout à coefficients dans Z. Et en plus, je vois franchement aucune raison qu'ils aient n-2 minimum/maximum locaux.
Tu peut expliquer quel raisonnement te conduit à ce résultat ?

A mon avis, la bonne façon de poursuivre, c'est de dire que sont racines (distinctes) de et que sont racines (distinctes) de .
Or, donc en fait et et on a donc

Et on en déduit en développant le terme de droite et en simplifiant que

Ce qui est clairement impossible pour des raisons de degré.

[Doraki]

A moi, ça me fait penser que Q+R a beaucoup de racines.

[Ben314]

C'est effectivement encore plus rapide...