Nombres premier 6k+-1

[LjjMaths]

Bonsoir, est il possible (si oui comment svp) de montrer que pour tous p premier positif,
p=6k+1 ou 6k-1 (k appartenant à N)
Sans avoir à démontrer la contraposee (en montrant que 6k+2, 6k+4 et 6k+6 sont divisibles par 2 et 6k+3 par 3)
Autrement dit peut on partir de p admet 1 et lui meme pour uniques diviseurs dans le but d' arriver à p=6k+-1

Merci d avance

[zygomatique]

salut

notons P et Q les propositions : "p est premier" et "p = 6k +- 1"

on ne peut pas prouver P => Q puisque non P => Q (ex : p = 25)

donc le seul moyen que l'on a c'est de passer par la contraposée non Q => non P

[Pseuda]

salut

notons P et Q les propositions : "p est premier" et "p = 6k +- 1"

on ne peut pas prouver P => Q puisque non P => Q (ex : p = 25)

donc le seul moyen que l'on a c'est de passer par la contraposée non Q => non P

Bonjour,

Cette logique m'échappe. Tu veux dire : "puisqu'on a : non P et Q" : 25 non premier et pourtant de la forme 6k+1.

C'est comme si tu disais : "On ne peut pas prouver directement que : 6 | n => 3 | n , parce qu'on a : 6 ne divise pas 21 et 3 | 21".

[LjjMaths]

Je suis d accord avec pseuda,
Mettons
P : x=2
Q: x^2=4

On peut montrer que P implique Q sans passer par la contraposee

Et pourtant si x=-2 on a bien x^2=4 donc non P implique Q

[zygomatique]

Je suis d accord avec pseuda,
Mettons
P : x=2
Q: x^2=4

On peut montrer que P implique Q sans passer par la contraposee

Et pourtant si x=-2 on a bien x^2=4 donc non P implique Q

ben oui puisqu'on connait x on connait son carré

tandis que quand on écrit p = 6k +- 1 on n'écrit rien d'autre que ce qu'on a écrit ... et comme on peut avoir Q comme non Q on ne peut pas conclure ...

Bonjour,

Cette logique m'échappe. Tu veux dire : "puisqu'on a : non P et Q" : 25 non premier et pourtant de la forme 6k+1.

C'est comme si tu disais : "On ne peut pas prouver directement que : 6 | n => 3 | n , parce qu'on a : 6 ne divise pas 21 et 3 | 21".

oui on peut avoir P et Q comme on peut avoir P et non Q

non ..

si Q = "6 divise n" et P = "3 divise n"

à nouveau on ne peut pas prouver P => Q puisqu'on peut avoir P et non Q

par contre il est évident qu'on peut prouver non P => non Q en prouvant Q => P

[Lostounet]

Bonsoir, est il possible (si oui comment svp) de montrer que pour tous p premier positif,
p=6k+1 ou 6k-1 (k appartenant à N)
Sans avoir à démontrer la contraposee (en montrant que 6k+2, 6k+4 et 6k+6 sont divisibles par 2 et 6k+3 par 3)
Autrement dit peut on partir de p admet 1 et lui meme pour uniques diviseurs dans le but d' arriver à p=6k+-1

Merci d avance

Bonjour,
Un nombre premier p est défini comme étant un nombre qui n'est divisible par aucun autre nombre à part 1 et lui-même.

Si tu prends un nombre entier n quelconque supérieur à 6 et que tu fais la division euclidienne par 6, tu as n=6q+R
Avec 0<=R<6

Cela signifie que tout entier n>6 est de l'une des formes:
n=6q+0 (n multiple de 6)
n=6q+1
n=6q+2 = 2(3q+1)
n=6q+3 =3(2q+1)
n=6q+4 =2(3q+2)
n=6q+5

Il apparait évident (par définition même d'un nombre premier) que les cas où n est comme les égalités 1, 3, 4 et 5 ne peut jamais être premier.

Il ne reste que les cas n=6q+1 ou n=6q+5=6q+6-1=6(q+1)-1=6q'-1

Pourquoi se priver d'une définition élémentaire?

[beagle]

"Pourquoi se priver d'une définition élémentaire?"
Ben oui!
On peut se définir par ce que l'on est comme par ce que l'on n'est pas.
Toujours vision ensembliste un grand ensemble divisé en deux sous ensembles, ben celui qui n'est pas définit celui qui est tout autant!

[LjjMaths]

Oui je comprend lostounet mais en faisant ca on montre que si p n est pas de la forme
6k+1 ou 6k+5 alors p n est pas premier
Pk on etudierais les congruences modulo 6 et pas les congruences de 5,4 ou autre chose
Fin, qu est ce qui en partant de p divisible uniquement par 1 et lui meme nous permet d anticiper le fait qu il faudra étudier les congruences de 6 (y a t il une succession d implication permettant d aller de p|p et 1|p a p=6k+-1)

[Lostounet]

Oui je comprend lostounet mais en faisant ca on montre que si p n est pas de la forme
6k+1 ou 6k+5 alors p n est pas premier
Pk on etudierais les congruences modulo 6 et pas les congruences de 5,4 ou autre chose
Fin, qu est ce qui en partant de p divisible uniquement par 1 et lui meme nous permet d anticiper le fait qu il faudra étudier les congruences de 6 (y a t il une succession d implication permettant d aller de p|p et 1|p a p=6k+-1)

On peut aussi faire exactement la même chose modulo 4

N=4k (pair)
N=4k+1
N=4k+2 (pair)
N=4k+3

Et avoir le même type de conclusion

[beagle]

"Oui je comprend lostounet mais en faisant ca on montre que si p n est pas de la forme
6k+1 ou 6k+5 alors p n est pas premier
Pk on etudierais les congruences modulo 6 et pas les congruences de 5,4 ou autre chose "

tu prends une feuille tu écrits les entiers, et ensuite tu enlèves les pairs,
un premier fait partie des impairs = il ne fait pas partie des pairs
tu enlèves les multiples de 3, et là oh surprise on retrouve des premiers de chaque coté des multiples de 6.

bref ils sont dans les 6k+-1 ou dire ils ne sont pas dans les pairs ni les multiples de 3,
cela dit la même chose,
alors peut-être que 6k+-1 cela fait plus sérieux que c'est des pas x2pas x3, mais bon ...

[Ben314]

Salut,

Pk on etudierais les congruences modulo 6 et pas les congruences de 5,4 ou autre chose
Fin, qu est ce qui en partant de p divisible uniquement par 1 et lui meme nous permet d anticiper le fait qu il faudra étudier les congruences de 6 (y a t il une succession d implication permettant d aller de p|p et 1|p a p=6k+-1)

Comme le montre Lostounet çi dessus, on peut tout à fait étudier les congruences modulo n'importe quoi et ça donne systématiquement un certain résultat.
Sauf que, si par exemple tu regarde les congruences modulo 12=2²x3, ça va uniquement te permettre d'éliminer les nombre multiple de 2 et de 3 et comme en regardant modulo 6=2x3 ça éliminait les même, ben autant regarder modulo 6 vu que c'est plus petit que 12.
Donc ça explique que Lostounet avec ses congruence modulo 4, il "élimine" les 4k et les 4k+2, c'est à dire les nombres pairs et on les aurais aussi éliminés en regardant les congruence modulo 2.
Donc, si par exemple, tu veut "éliminer" à l'aide d'une seule congruence les multiples de 3 et de 5, ben tu peut regarder modulo 3x5=15.
Sauf que parmi les entiers, les multiples de deux sont les plus fréquents (1 sur 2) puis c'est ceux multiple de 3 (1 sur 3) puis ceux multiple de 5 (1 sur 5), etc...
Donc pour éliminer pas mal de de monde à l'aide d'une seule congruence, ben on raisonne :
- Au début modulo 2 : à part p=2, les autres nombres premiers sont congrus à 1 modulo 2 (=impairs).
- Ensuite modulo 2x3=6 : à part p=2 et p=3, les autres sont congru à +-1 modulo 6.
- Ensuite modulo 2x3x5=30 : à part p=2, p=3 et p=5, les autres sont congrus à +-1 ou +-7 ou +-11 ou +-13 modulo 30.
Et si on voulais aller plus loin, le mieux serait de regarder modulo 2x3x5x7=210, mais la liste des congruence possible commence à être bien longue...

[LjjMaths]

Ah d accord ! Merci bcp à vous trois j'ai compris !