Salut,
J'ai p'têt une soluce, mais c'est passablement long (mais... assez joli...)
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sont les symétrique orthogonaux des sommets par rapports au cotés opposés.
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sont les milieux des cotés.
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sont les pieds des hauteurs donc les milieux respectifs de
.
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est le centre du cercle d'Euler passant par
.
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sont les les projetés orthogonaux de
sur les cotés du triangle donc en fait les milieux respectifs de
.
)
De même
donc
sont alignés ssi
le sont.
Or il est bien connu (et pas très dur à démonter) que les projetés orthogonaux d'un point M sur les 3 cotés d'un triangle sont alignés ssi le point M est sur le cercle circonscrit au triangle.
Donc
sont alignés ssi
est sur le cercle circonscrit à
c'est à dire ssi
où
et le centre du cercle circonscrit et
son rayon.
Enfin, si
désigne le centre de gravité du triangle et
son orthocentre, on sait que
.
De plus, comme
sont respectivement le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit de
, on a aussi
.
On en déduit que
et donc que
ssi
.
EDIT : Il y a peut être un peu plus direct vu qu'en fait,
sont les images de
par l'homothétie de centre
et de rapport 4 qui a le bon gout d'envoyer
sur
.
Ca semble donc pas con de considérer le triangle "4 fois plus grand" que (ABC) vu que
sont les projetés orthogonaux de
sur les cotés de ce triangle.