Divisibilité dans Z

[zouenzo]

Bonjour, voilà j'ai 2 exercices sur la divisibilité, je suis en terminale S spé maths et là je bloque, pourriez vous m'aider?

exercice 1:

1.Démentrer que, pour tout en tier naturel n :
2^(3n)-1 est multiple de 7
En déduire que 2^(3n+1)-2 est multiple de 7 et que 2^(3n+2)-4 est multiple de 7.
Alors pour celle là j'ai utilisé le raisonnement par récurence, en prouvant que Un+1 était multiple de 7.
Donc ça donne:
le premier : Un+1 = 7(8k+1)
le deuxième : (Un+1)' = 7(8k+2)
et le troisième : (Un+1)'' = 7(8k+7)

2.Déterminer les restes de le division par 7 des puissances de 2.
Donc là j'ai vu que les restes c'était toujours 1;2 et 4.
On voit aussi que y a correspondance avec la question 1, que 2^3 ça fait 2^(3n+3) en prenant n=0 et pareil pour 2^4 et 2^5 mais je sais pas comment mettre en relation, enfin comment en déduire que les restes ce sera toujours ça.

3. Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre entier
Ap=2^p+2^2p+2^3p
a. si p=3n quel est le reste de la division de Ap par 7?
b. Démontrer que si p=3n+1, alors Ap est divisible par 7.
c. 2tudier le cas où p=3n+2
Alors là je suis complétement perdue...

merci pour votre aide

[flaja]

bonjour,
1) raisonnement par récurrence :
on vérifie que la relation à démontrer est vraie pour le premier n possible ici 0
puis on suppose que c'est vrai pour n c'est à dire que l'on admet que 2^(3n)-1 = 7 q
et on essaie d'en déduire 2^(3(n+1))-1 est un multiple de 7 c'est à dire = 7(....)
2) pour 2^n, il y a 3 possibilités : n = (3m +0) ou (3m + 1) ou (3m+2)
pour la partie 2^(3m) c'est fait dans le 1), il ne reste plus qu'à traiter les 3 cas selon le reste de la division de n par 3
3) 2^(2p) = (2^p)^2,
si (2^p) = b q + r
alors (2^p)^2 = (b^2q + 2br) q + r ^2
à toi pour la suite ...

[zouenzo]

non je n'ai pas encore vu es congruences :s

flaja : ppour la questiooon 2, on a traité 2^3m ds la 1 mais on a aussi traité les 2 autres non?
je vois pas comment mettre les restes en évvidence.

pour la 3 je ne comprend pas pourquoi (2^p)^2 = (b^2q + 2br) q + r ^2
et je comprend pas à quoi ça nous sert