Ou en sommes nous concernant l'égalité 1+2+3+4+5+...=-1/12

[anthony_unac]

Bonjour,
La prétendue égalité 1+2+3+4+5+...=-1/12 ne cesse de déchaîner les passions. Les amateurs observent la chose d'un œil amusé et les puristes s'affrontent sur le sens ... mais ou en sommes nous aujourd'hui ? Et si nous faisions un point
En tant qu'amateur, je vu plus d'un arguments qui m'ont séduit pour peut être non pas admettre mais au moins reconnaître le caractère vraiment pas idiot de la chose.
Et pourtant tout ceci s'effondre quand je pense à tous les objets que je manipule (certes pas de façon infini, je le concède) au quotidien et qui ne s'annule jamais et ne se transforment encore moins en une valeur négative (songer par exemple au régime révolutionnaire que pourrait subir la population mondial si en ingurgitant des calories ... cette population finissait par maigrir).

[Lostounet]

C'est un peu comme la "somme S = 1 - 1 + 1 - 1 + ... " qui une fois manipulée à tort et à travers permet de tomber sur tout et n'importe quoi...
On ne peut pas manipuler un objet sans au moins avoir en tête des théorèmes précis (sinon on ne s'en sort vraiment pas).

Pour ma part je n'écrirai jamais "1 + 2 + ..." = "-1/12" sans comprendre le sens de ce qu'il y a derrière (prolongement analytique, et la valeur du prolongement qui vaut -1/12). Ce n'est donc pas vraiment représentatif d' une population qui consomme de plus en plus de calories et qui maigrit.

D'ailleurs je ne pense pas que nous en "soyons quelque part" vu que d'un point de vue strictement mathématique et rigoureux... la réponse ne laisse pas de place au doute !

[anthony_unac]

D'ailleurs je ne pense pas que nous en "soyons quelque part" vu que d'un point de vue strictement mathématique et rigoureux... la réponse ne laisse pas de place au doute !

S'il n'y a pas de doute, c'est que la communauté mathématique à pris position (avec ses bonnes raisons) or nous savons bien que ce genre de chose fait toujours débat donc c'est que ce n'est pas si évident que ça et qu'il subsiste des doutes (dans un sens comme dans l'autre) dans la tête des intéressés

[Lostounet]

S'il n'y a pas de doute, c'est que la communauté mathématique à pris position (avec ses bonnes raisons) or nous savons bien que ce genre de chose fait toujours débat donc c'est que ce n'est pas si évident que ça et qu'il subsiste des doutes (dans un sens comme dans l'autre) dans la tête des intéressés

Après, un même sujet peut avoir plusieurs aspects. L'aspect mathématique est scellé, mais si cela t'intéresse d'en discuter d'un point de vue non mathématique (pédagogique, vulgarisation...) tu peux.

Tout en sachant que Kim Kardashian (et son derrière) fait aussi toujours débat, sans que cela soit forcément très...

[anthony_unac]

Bof, c'est botter en touche mais je comprends ce point de vue peu étayé mais humoristique

[Nicolas.L]

Bonsoir,
Je pense moi aussi que le débat est clos*. Je pense comme Lostounet que quand on écrit 1+2+...=-1/12 on attribue tacitement un sens à la notion 1+2+...
Un peu comme quand on écrit 1+1/4+1/9+1/25+...=pi²/6 ici aussi on attribue un sens à la notation "1+1/4+..." par laquelle on désigne en fait la limite des sommes partielles.

*plus précisément, il n'y a jamais eu de vrai débat pour les mathématiciens.. et qu'il y aura toujours des contestataires chez les autres.

[anthony_unac]

Bonsoir Nicolas,
Si je désigne par .... telle chose alors ... n'est ce pas la le fondement même des mathématiques ?
Dans ce cas, on définit un sens strict au bidule et on barricade le tout de sorte que le débat soit clos (de chez clos suivant cet angle précisément) mais le soucis persiste encore sur le plan physique cette fois d'ou l'envie de savoir ou nous en sommes sur le sujet ?

[Nicolas.L]

Ma vision des choses est que les mathématiques "seules" n'ont rien à voir avec le monde réel.
Beaucoup de sciences utilisent les mathématiques pour décrire leur sujet d'études (galaxie, molécules, volcans...) et cela fonctionne très bien. On peut alors dire que ces scientifiques ont donné un "sens physique" aux objets mathématiques qu'ils ont manipulés.

Pour ce qui est de 1+2+...=-1/12, je ne sais pas si il a déjà été donné un sens physique à cette affirmation.

[Lostounet]

Pour ce qui est de 1+2+...=-1/12, je ne sais pas si il a déjà été donné un sens physique à cette affirmation.

Cela doit exister: c'est lié à l'effet Casimir.

[Ben314]

Comme sur ce sujet ça fait plusieurs fois que j'entends parler de "l'effet Casimir" concernant cette fameuse somme (*), je suis allé jeter un coup d'œil sur Wiki où ils ne rentrent pas trop dans les détail.
Je suis donc allé regarder l'article qu'ils citent plusieurs fois (Le lecteur intéressé par ce calcul le trouvera détaillé dans l'article de revue de Duplantier) et on peut pas dire que j'ai trouvé quoi que ce soit en lien avec la fameuse somme infinie.
Le seul endroit où il parle de série divergente c'est page 43, mais il ne dit absolument pas qu'il va faire converger la série "de force". Ce qu'il dit, c'est que la série (divergente) correspond à un conducteur absolument parfait qui dans la pratique ne peut pas exister et ça le conduit à considérer une "somme régularisée" qui elle est bel et bien convergente au sens on ne peut plus usuel du terme.

Bref, quelqu'un a-t-il un article sérieux (i.e. fait par un véritable chercheur en physique et destiné à autre chose que de la vulgarisation "tape à l'œil") où on fait "converger" (avec des guillemets) cette fameuse somme ?

(*) Qui, comme le dit Nicolas.L, n'a absolument jamais "fait débat" chez les matheux : on sait parfaitement quelle est la théorie (très compliquée) à mettre en place pour "donner du sens" à cette somme et lui attribuer la valeur -1/12. Le seul débat qu'il y a à ma connaissance chez les matheux, c'est éventuellement de savoir quel intérêt ça a de "donner ça en pâture" à des personnes qui sont à 10 000 Km d'en comprendre le sens et pour qui ça ne peut être que de la pure "formule magique".

[Lostounet]

Bref, quelqu'un a-t-il un article sérieux (i.e. fait par un véritable chercheur en physique et destiné à autre chose que de la vulgarisation "tape à l'œil") où on fait "converger" (avec des guillemets) cette fameuse somme ?

.

https://www.google.fr/url?sa=t&source=w ... 241OvRgmlw

Par exemple?

[Ben314]

Un truc qui commence par du "whose aims are mainly pedagogical", je sais pas trop quoi en penser pour ne rien te cacher....

[Nicolas.L]

Je ne comprend rien à la physique donc je ne peux pas juger de la qualité de ces sources mais peut-être que les articles wiki anglophone sont plus intéressants que l'article en français:
https://en.wikipedia.org/wiki/Casimir_effect
https://en.wikiversity.org/wiki/Quantum ... _dimension

[Lostounet]

Un truc qui commence par du "whose aims are mainly pedagogical", je sais pas trop quoi en penser pour ne rien te cacher....

Sinon, ça a été publié dans une revue ?

Je n'ai pas regardé si ça a été publié mais c'est sur arxiv. Même si la qualité est discutable (pas par moi) mais ça s'éloigne déjà pas mal de la vulgarisation kikoolol en terme de contenu... au moins il fait le lien avec de l'analyse complexe à la fin du pdf et la notion de prolongement analytique.

Il y a peut-être mieux sur le net.

[Ben314]

Perso, ce qui me semble tout de même "étrange" on va dire c'est que que dans un article publié (séminaire poincaré) un physicien du service de physique théorique du CEA arriver à démontrer la bonne formule finale (celle concernant l'effet Casimir qui a été vérifié par l'expérience) sans utiliser le fait que la fameuse somme est égale à -1/12.

[Ben314]

Je ne comprend rien à la physique donc je ne peux pas juger de la qualité de ces sources mais peut-être que les articles wiki anglophone sont plus intéressants que l'article en français:
https://en.wikipedia.org/wiki/Casimir_effect
https://en.wikiversity.org/wiki/Quantum ... _dimension

Sur le premier article, comme dans celui de duplantier, ils parlent effectivement de "régularisation" de la somme (tout un paragraphe dédié), mais il y a effectivement une différence extrêmement importante :
L'article du Wiki anglais écrit que "This is an artificial device" alors que dans l'article de duplantier, il écrit que la régularisation provient du fait que "aucun conducteur n'est parfait jusqu'aux fréquences infinies".

Par contre, sur le deuxième article, de ce que j'en comprend, ils tiennent bien le même discours que duplantier : la somme semble diverger, mais en fait ce n'est pas le cas vu que "It is reasonable to assume that this summation ceases to be valid above some threshold energy. For example, metal ceases to be a good conductor at high frequency due to the skin effect." et ils donnent effectivement une explication à la régularisation autre que "c'est comme ça que les matheux font converger les séries divergentes".

Bref, je vais conclure en disant uniquement que... je préfère de loin l'explication de duplantier ou du deuxième article du Wiki Anglais...