DM de spécialité mathématiques TS

[clementp]

Bonjour, je n'arrive pas à faire mon DM de spé maths. Quelqu'un pourrait m'aider pour ces questions svp.

On considère l'équation (F) : 11x^2-7y^2=5, où x et y sont des entiers relatifs.
1) Démontrer que si le couple (x;y) est solution de (F), alors x^2 est congru à 2×y^2 modulo 5.
2) Montrer que si x et y sont des multiples de 5, alors le couple (x;y) n'est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l'équation (F) ?

[zygomatique]

salut

c'est pourtant élémentaire ...

1/ il suffit de travailler modulo 5 ...

2/ comment s'écrit un multiple de 5 ?

[clementp]

1) Oui mais comment passer de l'équation (F) à de la congruence ?

2) je ne sais pas

[zygomatique]

alors peut-être qu'il est temps d'ouvrir un cours ou un livre ...

[Pseuda]

Bonsoir,

On peut aider quand même un peu, n'est-ce pas zygomatique ?

11x^2-7y^2=5. On cherche une simplification par les congruences modulo 5. x et y sont les inconnues, mais à quoi sont congrus 11, 7 et 5 modulo 5 ? Du coup, à quoi est congru 11x^2-7y^2 modulo 5 ?

[clementp]

Oui merci de m'aider.

11 est congru à 1 et 7 à 2, mais c'est bon cette question j'ai réussi à la faire.
C'est plus pour la deuxième maintenant que j'ai du mal.

[Pseuda]

Si x et y sont des multiples de 5, alors x² et y² sont des multiples de ... ?

Bon, ce n'est pas la congruence qui va aider, car il n'y a pas de contradiction. Il faut revenir à l'équation : dès lors, 11x²-7y² est un multiple de .... ? Conclusion ?

Puis étudie ensuite la congruence modulo 5 d'un carré : de x² en fonction de celle de x, et celle de 2y² en fonction de celle de y (à l'aide d'un tableau). Conclusion ?

[clementp]

Oui c'est bon j'ai compris, je viens d'y arriver. Merci beaucoup.

[zygomatique]

il est inutile de travailler avec les congruences pour la question 2/

il suffit simplement de connaitre la propriété élémentaire "a est multiple de b" et sa traduction mathématique ...
c'est la base de la base ...

est-ce l'énoncé complet ?

[clementp]

Non, avant il y a deux tableaux de congruence pour x -> x^2 et y-> 2y^2 [5] suivi de cette question :
En déduire que si le couple (x;y) est solution de (F), alors x et y sont des multiples de 5.
Puis ensuite la question 2) que j'ai déjà écrit.

[zygomatique]

c'est bien ce que je pensais ...

donc d'après cette question et la question 2/ il est aisé de conclure ...

[clementp]

Mais c'est que je ne comprend pas que ces deux questions nous demandent de démontrer deux choses opposés

[Pseuda]

Mais c'est que je ne comprend pas que ces deux questions nous demandent de démontrer deux choses opposés

Bonjour,

La question 1) dit : si (x ; y) est solution, alors x² congru à 2y² (5), et on en déduit (d'après une question plus haut dis-tu), que x et y sont des multiples de 5.
La question 2) dit : si x et y sont des multiples de 5, alors (x ; y) n'est pas solution.

Autrement dit, la seule chance pour (x ; y) d'être solution est que x et y soient des multiples de 5 (condition nécessaire). Et même dans ce cas, (x ; y) n'est pas solution. Conclusion : aucun couple (x ; y) ne peut être solution.

Autrement dit, on démontre une contradiction pour démontrer une chose impossible.

[zygomatique]

exactement ...

si des solutions existaient elles seraient multiples de 5 et pas multiples de 5 ... ce qui est contradictoire ...

donc il n'existe pas de solution ...

[Pseuda]

Bravo zygomatique pour cette formulation synthétique !