Problème de ligne de téléphone

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Ihatemaths13
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Problème de ligne de téléphone

par Ihatemaths13 » 23 Déc 2016, 15:31

Bonjour à tous , j'ai besoin de votre aide ! Mon prof de maths m'as donné un problème : "la ligne de téléphone" ,il n'a jamais été résolu malgré cela je dois trouver plusieurs hypothèses et démonstration (via geogébra) , mais je n'ai pas du TOUT compris ce problème de base , je suis totalement desesperé car je vais devoir présenter cela devant un amphi-théàtre complet . Si quelqun(s) pourrait m'expliquer tous cela s'il vous plait . Je vais joindre les photos du problèmes

Cordialement.
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Re: Problème de ligne de téléphone

par Lostounet » 23 Déc 2016, 16:10

(Le contenu de ce post a été rectifié pour tenir compte des corrections apportées par Ben)


Hello,

Avant de paniquer, et avant tout calcul, on peut essayer de se mettre d'accord sur l'interprétation de ce problème (qui parait intéressant).

Tu as une boite noire, qui est le "lopin" de terre. Et tu as une ligne de téléphone (une ligne droite) qui la traverse, ce qui signifie que la ligne doit obligatoirement passer d'un bout à l'autre de ce carré (d'un coté à un coté opposé ou bien entre deux cotés adjacents par exemple, ou d'un sommet à un autre).
Image

Mais le jardinier ne sait pas exactement ce que fait la ligne de terre il va donc creuser. Il se place à un endroit et creuse par exemple il se place au coin gauche en bas et creuse une diagonale !
Il se trouve qu'il va trouver des fois la ligne mais comme tu peux le constater si la ligne fait comme dans la dernière figure, il ne la trouvera pas.
Image


On peut se dire qu'il n'a qu'à faire deux diagonales et qu'il trouvera à coup sûr ! C'est vrai, mais n'empêche que creuser est fatigant ! Et il s'avère qu'il est possible de creuser un peu moins que deux diagonales pour trouver la ligne de tel dans tous les cas.

Maintenant, la difficulté réside dans la traduction mathématique de l'énoncé ! Mais nous devons déjà essayer de comprendre les enjeux du problème et son interprétation.
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Re: Problème de ligne de téléphone

par Lostounet » 23 Déc 2016, 16:25

Je pense par contre que le mathématicien Fermat est capable de le montrer car le point que l'on voit apparaître dans la dernière figure s'appelle... le point de Fermat. :lol:
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Re: Problème de ligne de téléphone

par Ben314 » 23 Déc 2016, 17:07

Salut,
Comme hélas bien trop souvent, tel qu'el, ben on peut pas répondre grand chose vu que le terme "traverser" de l'énoncé n'a pas de définition mathématique claire.
Les dessins de Lostounet çi dessus partent (semble-t-il) du principe que "traverser" signifie rentrer sur le terrain par un des 4 cotés et en sortir par un coté différent de celui d'entrée, mais qui n'est pas forcément celui d'en face (c.f. possibilité 3) alors que :
1) Ca peut sembler raisonnable de considérer que "traverser" signifie "sortir par un coté en face de celui d'entrée".
2) A l'autre extrême, ça peut aussi sembler raisonnable de considérer que "traverser", ça veut juste dire "rentrer et sortir" et qu'éventuellement le point d'entrée et celui de sortie soient sur le même coté.

Et, bien évidement, les réponses vont dépendre de l'interprétation que l'on fait de se terme de "traverser" :
Dans le cas 1), creuser sur une diagonale est suffisant pour repérer un point de la ligne téléphonique.
Dans le cas 2), il faut forcément creuser tout le périmètre du carré pour être sûr de la trouver.
Et bien évidement, on peut considérer d'autres interprétations possibles du terme "traverser" conduisant à... d'autres solutions...
Modifié en dernier par Ben314 le 23 Déc 2016, 17:11, modifié 1 fois.
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Re: Problème de ligne de téléphone

par Lostounet » 23 Déc 2016, 17:10

@ Ben
Je ne suis que d'accord avec toi concernant l'ambiguité du terme.
Par contre ce qui m'a dissuadé du fait que la ligne puisse ressortir du même côté, c'est le tout dernier schéma (si la ligne part du coté du milieu du côté du bas et y revient le dessin ne collerait plus avec l'énoncé, le jardinier n'aurait pas pu la trouver)
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Re: Problème de ligne de téléphone

par Ben314 » 23 Déc 2016, 17:19

Lostounet a écrit:@ Ben
Je ne suis que d'accord avec toi concernant l'ambiguité du terme.
Par contre ce qui m'a dissuadé du fait que la ligne puisse ressortir du même côté, c'est le tout dernier schéma (si la ligne part du coté du milieu du côté du bas et y revient le dessin ne collerait plus avec l'énoncé, le jardinier n'aurait pas pu la trouver)

Sauf que personnellement, ça me parait être une absurdité monstrueuse au sens de la notion de "démarche scientifique" que d'aller regarder la solution d'un problème pour en déduire ensuite quelles sont les hypothèses à rajouter à l'énoncé pour que la solution proposée soit effectivement correcte.

Qu'un enseignant trouvant un énoncé foireux quelque part et sa "pseudo-solution" en dessous procède de la sorte, O.K. (y'a pas le choix), mais de demander à un élève de procéder de la sorte, ça, non.
Autant je comprendrais qu'on lui donne un énoncé ou il y a ambiguïté sur l'interprétation pour voir s'il le repère et s'il traite bien toutes les interprétations possible, autant je ne peut pas tolérer que les indications données fassent comme s'il n'y avait qu'une seule interprétation possible alors qu'il y en a clairement plusieurs : c'est on ne peut plus franchement une incitation à "inventer" des hypothèses de façon totalement gratuite.
Modifié en dernier par Ben314 le 23 Déc 2016, 18:07, modifié 1 fois.
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Re: Problème de ligne de téléphone

par Ben314 » 23 Déc 2016, 17:27

Et je rajouterais que, par rapport au problème classique, même toi, tu n'a pas compris de quoi il retournais avec tes dessins : dans le vrai problème, on suppose que la ligne téléphonique, c'est une droite qui coupe le carré, ce qui exclu tout les dessins que tu as fait et c'est aussi ce qui explique la dernière proposition du bouquin où, si la ligne téléphonique était une courbe (continue) elle pourrait ne pas couper les segments tracés.
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Re: Problème de ligne de téléphone

par Lostounet » 23 Déc 2016, 17:32

Déjà au départ si l'on en venait à contester la démarche scientifique, il y a plusieurs choses qui ne vont pas dans la formulation. Déjà un lopin de terre ce n'est pas un carré, c'est tout au mieux un cube. Et creuser suggère qu'il y a une notion de profondeur...

Ça me rappelle le théorème du point fixe ça. Mais en tout cas si tu penses que j'ai mal compris, ce qui est fort possible (il est effectivement possible comme tu le dis d'esquiver avec une fonction continue toutes les droites tracées c'est vrai que mes dessins sont foireux mais on peut y remédier selon les interprétations) peut-être que tu pourrais donner des indications à ce lycéen pour qu'il puisse quand même "faire quelque chose" devant tous ses camarades.
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Re: Problème de ligne de téléphone

par beagle » 23 Déc 2016, 17:37

" dans le vrai problème, on suppose que la ligne téléphonique, c'est une droite qui coupe le carré,..c'est aussi ce qui explique la dernière proposition du bouquin où, si la ligne téléphonique était une courbe (continue) elle pourrait ne pas couper les segments tracés."

Là en effet on comprend l'énoncé!
Parce que je pigeais que couic au dernier dessin!
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

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Re: Problème de ligne de téléphone

par beagle » 23 Déc 2016, 17:45

mais du coup le point de Fermat donné par Lostounet fait partie de la solution du dernier dessin, non?

j'ai pas trop le temps, je ne connaissais déjà pas le point de Fermat,
mais beau problème!
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Re: Problème de ligne de téléphone

par Lostounet » 23 Déc 2016, 17:48

beagle a écrit:mais du coup le point de Fermat donné par Lostounet fait partie de la solution du dernier dessin, non?

j'ai pas trop le temps, je ne connaissais déjà pas le point de Fermat,
mais beau problème!


Cela me semblait vaguement lié au point de Fermat (point dans un triangle qui minimise la somme des distances au sommet) vu les angles de 120
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Re: Problème de ligne de téléphone

par Ben314 » 23 Déc 2016, 17:57

Oui, sur le dernier dessin de l'énoncé c'est bien le "point de Fermat" du demi carré qui apparait (qui possède au moins 4 ou 5 autres dénominations dont celle de "point de Torricelli" qui est celle que personnellement j'utilise vu que c'est ce dernier qui a été le premier à en donner une construction)
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Re: Problème de ligne de téléphone

par Lostounet » 23 Déc 2016, 18:04

Quand je serai chez moi je reprendrai les dessins avec uniquement des lignes droites.

Qu'en penses-tu Ben? Cela lève-t-il alors l'ambiguité (au moins partiellement, par rapport à mon discours)? (Car une ligne droite (non brisée) ne peut pas revenir au même côté... il me semble)
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Re: Problème de ligne de téléphone

par Ben314 » 23 Déc 2016, 18:16

Concernant ce que l'élève peut faire, ben a mon avis, le premier truc c'est d'écrire un énoncé correct du problème (va savoir si le fait qu'il ait rien compris est pas lié au fait que, comme toi, il avait pas vu qu'il fallait supposer que la ligne de téléphone est rectiligne pour que les solutions proposées aient "du sens")
Ensuite, il peut essayer d'expliquer rapidement pourquoi, sur chaque dessin, on est sûr qu'une droite qui coupe le carré va couper l'un des segments tracés.
Enfin, s'il veut un peu faire des maths plus interessante, il peut chercher les positions précises des deux points intérieur sur l'avant dernier dessin ainsi que la position pu point de Torricelli sur le dernier.
Dans les deux cas, on peut soit le faire avec de l'analyse, mais si on ne connait pas les dérivées, ça risque d'être passablement "astucieux" comme démarche, soit le faire avec de la vraie géométrie.
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Re: Problème de ligne de téléphone

par Lostounet » 23 Déc 2016, 22:28

J'ai modifié les dessins. Qu'en pensez-vous?

D'ailleurs question subsidiaire (un peu biscornue): est-il possible de "creuser" deux diagonales du type
(si x est dans [0 ; 0.5])
et (si x est dans [0,5 ; 1])

I est l'ensemble des irrationnels
Est-ce qu'on ferait moins de "distance" avec ce genre de choses? Est-il possible de parler de longueur de telles courbes, je l'ai jamais vu en tout cas.
Est-ce qu'une fonction continue peut esquiver ce genre d'ensembles?
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Re: Problème de ligne de téléphone

par Ben314 » 23 Déc 2016, 23:00

Déjà, si la partie du carré dont tu parle correspond au graphe de ta fonction f, ben ça n'a pas du tout la propriété demandé vu que par exemple le graphe ne coupe pas la droite d'équation y=1/4 ni celle d'équation y=racine(2)/2.

Ensuite, si on applique la définition de la notion de "longueur d'arc" à ton graphe en le considérant comme une courbe paramétrée t->(t,f(t)) alors la longueur est très clairement infinie.

Concernant la dernière question, je comprend pas bien ce que tu veut dire par "esquiver".
Si c'est "passer à coté", alors bien sûr : même des bêtes droites y=cst ont une intersection nulle avec ton graphe...
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Re: Problème de ligne de téléphone

par Ihatemaths13 » 25 Déc 2016, 13:55

Lostounet a écrit:(Le contenu de ce post a été rectifié pour tenir compte des corrections apportées par Ben)


Hello,

Avant de paniquer, et avant tout calcul, on peut essayer de se mettre d'accord sur l'interprétation de ce problème (qui parait intéressant).

Tu as une boite noire, qui est le "lopin" de terre. Et tu as une ligne de téléphone (une ligne droite) qui la traverse, ce qui signifie que la ligne doit obligatoirement passer d'un bout à l'autre de ce carré (d'un coté à un coté opposé ou bien entre deux cotés adjacents par exemple, ou d'un sommet à un autre).
Image

Mais le jardinier ne sait pas exactement ce que fait la ligne de terre il va donc creuser. Il se place à un endroit et creuse par exemple il se place au coin gauche en bas et creuse une diagonale !
Il se trouve qu'il va trouver des fois la ligne mais comme tu peux le constater si la ligne fait comme dans la dernière figure, il ne la trouvera pas.
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On peut se dire qu'il n'a qu'à faire deux diagonales et qu'il trouvera à coup sûr ! C'est vrai, mais n'empêche que creuser est fatigant ! Et il s'avère qu'il est possible de creuser un peu moins que deux diagonales pour trouver la ligne de tel dans tous les cas.

Maintenant, la difficulté réside dans la traduction mathématique de l'énoncé ! Mais nous devons déjà essayer de comprendre les enjeux du problème et son interprétation.





Merci en tous cas , le problème me parrait beaucoup plus clair et je suis moin paniqué lol sachant que je devait présenter tous cela devant un amphithéâtre entier . Passez de bonne fêtes !

Cordialement

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Re: Problème de ligne de téléphone

par beagle » 26 Déc 2016, 11:02

ben moi je dis lorsqu'on te donne un si bel exercice, ben faut changer de nom, tu ne peux plus t'appeler Ihatemaths même 13.Ce problème est typiquement le truc qui me rend Ilovemaths et avec un nombre élevé derrière.
Alors je ne vais pas démontrer ce qui n' a pas été démontré, mais on va parcourir et jouer avec ce truc qui est vraiment très sympa.Donc d'emblée lorsque Lostounet a parlé de point de Fermat, je suis allé voir wiki et j'ai trouvé un truc que je ne connaissais pas, alors que c'est tout "simple".C'est énoncé ainsi par Fermat:
étant donné 3 points (c'est un peu comme un triangle quoi), en trouver un quatrième tel que la somme de ses distances aux trois points soit minima.
Et Toricelli fut le premier à donner une belle démonstration géométrique à voir sur wiki, d'où se situe ce point.Voilà pourquoi Ben314 préfère parler de point de Toricelli.
Et comme nous le verrons c'est assez central sur cet exo.
a suivre...
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

beagle
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Re: Problème de ligne de téléphone

par beagle » 26 Déc 2016, 11:17

donc on va se contenter de commenter la montée en puissance qui mène à la solution (ou le minimum connu actuel)
première solution, la force brute.la ligne traverse le carré,
ben je fais une tranchée tout le long du périmètre du carré, en passant sur les 4 bords.
ça c'est du sur, c'est dela force brute.Mais ça fait 4 de longueur.
Puisque comme le dit lostounet une ligne droite coupant un coté ne pourra pas traverser le carré en ressortant par ce coté, ben déjà si on creuse le long de seulement 3 cotés on est bon.
So is 3.

Maintenant pour des raisons techniques , ne pas abimer la cloture ..., je ne peux pas faire le long des 3 cotés.
très bien alors je fais faire une ligne brisée pour chaque coté, je pars d'un angle je vais à l'angle adjaccent.
Donc de 3 cotés je suis passé à trois triangles ayant pour base un coté.Sauf que là ben zut je dépasse le 3.
Alors que faire?
Ben tout simplement faire que mes triangles partagent un coté commun.
Je vais passer de 6 cotés (2 cotés x 3 triangles) à 4 cotés délimitant mes 3 triangles (plus 1 triangle non demandé, non necessaire mais que l'on voit, on voit 4 triangles sur la figure.
Alors le problème devient, je prends un point du carré et je le relis aux 4 cotés.
On doit pouvoir montrer que le "point de Fermat" du carré qui minimise les distances ben c'est de prendre le centre du carré,
et bref on tombe sut le diagramme des 2 diagonales.
Deux diagos c'est 2 fois racine carré de 2, on est passé de 3 à 2,82.
On a déjà progressé,
Toricelli Fermat à suivre ...
Modifié en dernier par beagle le 26 Déc 2016, 11:45, modifié 4 fois.
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beagle
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Re: Problème de ligne de téléphone

par beagle » 26 Déc 2016, 11:29

So, nous sommes avec le diagramme des deux diagonales ...
Elles délimitent 4 triangles rectangles isocèles.
Appliquons dans le triangle de gauche le point de Fermat Toricelli.
Nous allons trouver un point dans le triangle qui minimise la distance aux trois points,
et là à prouver mathématiquement, il semblerait donc que la somme des distances qui mène aux trois points,
ben cette somme serait inférieure à la somme de deux moitiés de diago (les deux cotés du triangle
On fait idem avec le triangle de droite
On réunit, cela donne le dessin de gauche des deux dessins du bas..
comme le point de Fermat Toricelli relie deux angles du carré, il délimite de nouveau la traversée d'un coté, donc on est bon.

Donc ici, à partir du diagramme des deux diagonales, on applique Toricelli Fermat sur deux des quatre triangles.Les calcules donnent alors du 2,73 ...
a suivre
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

 

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