Dm matrices

[clemmaths]

Bonjour, j'ai un dm à faire pendant les vacances mais il y a des questions où je n'y arrive pas, pouvez vous m'aider ?

On a :
E= (0.98 0.02)
(0.04 0.96)

P = (1 -1)
(1 2)

D=Q*E*P = (1 0 )
(0 0.94)

Q = (1/3) * (2 1)
(-1 1)

Q*P = (1 0)
(0 1)

On sait que E^n = P*D^(n) *Q

On sait aussi que R(1)=(0.25 0.75) et que cette matrice ligne est la distribution initiale des fréquences de vote, c'est à dire qu'en début de campagne 25% des personnes veulent voter pour le candidat A et 75% pour le B

De plus, chaque semaine de nouveaux sondages sont réalisés. Chaque semaine 98% des personnes ayant voté A déclarent à nouveau une intention de voter A et 2% se prononcent B. Le candidat B conserve de semaine en semaine 96% des intentions de vote et 4% changent d'avis. D'où E= (0.98 0.02)
(0.04 0.96)

On sait aussi que la matrice ligne R(n) de la distribution des intentions de vote après n semaines est donnée par R(n)= (1/12) * ([8-5*0.94^(n-1)] [4+5*0.94^(n-1)] )

La question est : en déduire la durée de campagne nécessaire pour que les intentions de vote pour le candidat A dépassent 60%

[XENSECP]

Bonjour, j'ai un dm à faire pendant les vacances mais il y a des questions où je n'y arrive pas, pouvez vous m'aider ?

On a :
E= (0.98 0.02)
(0.04 0.96)

P = (1 -1)
(1 2)

D=Q*E*P = (1 0 )
(0 0.94)

Q = (1/3) * (2 1)
(-1 1)

Q*P = (1 0)
(0 1)

On sait que E^n = P*D^(n) *Q

On sait aussi que R(1)=(0.25 0.75) et que cette matrice ligne est la distribution initiale des fréquences de vote, c'est à dire qu'en début de campagne 25% des personnes veulent voter pour le candidat A et 75% pour le B

De plus, chaque semaine de nouveaux sondages sont réalisés. Chaque semaine 98% des personnes ayant voté A déclarent à nouveau une intention de voter A et 2% se prononcent B. Le candidat B conserve de semaine en semaine 96% des intentions de vote et 4% changent d'avis. D'où E= (0.98 0.02)
(0.04 0.96)

On sait aussi que la matrice ligne R(n) de la distribution des intentions de vote après n semaines est donnée par R(n)= (1/12) * ([8-5*0.94^(n-1)] [4+5*0.94^(n-1)] )

La question est : en déduire la durée de campagne nécessaire pour que les intentions de vote pour le candidat A dépassent 60%

: intention 1ere semaine

Deuxième semaine: parmi les 0.25 de A il y a 0.98 qui gardent A et 0.02 qui passent sur B. Parmi les 0.75 de B il y a 0.96 qui restent sur B et 0.04 qui passent sur A, soit:
0.25 * 0.98 + 0.75 * 0.04 sur A et 0.25 * 0.02 + 0.75 * 0.96 sur B en semaine 2

soit:

Soit effectivement...

Si tu as compris ce que tu faisais, tu as compris que les intentions de votes pour A en semaine n est égal à :


Du coup:


Petite inégalité sympa, avec du ln pour enlever les puissances... classique!

[Lostounet]

Discussion déplacée dans la section Supérieur

[clemmaths]

Oui j'ai bien résolu cette inéquation mais le problème c'est que je n'ai pas encore vu les log ... du coup est ce qu'il existe une autre méthode pour terminer de la résoudre parce que je suis bloquée à (0,752/5)>= 0,94^n
Mais avec internet j'ai trouvé qu'au final on doit trouver n>=31 Mais je ne sais pas comment le démontrer...

[Lostounet]

Pas une preuve mais une vérification...
Avec un tableur peut-être?

Sans le logarithme, c'est pas très facile par le calcul. Mais c'est étrange... tu sais diagonaliser des matrices sans avoir vu la fonction ln qui est une fonction de base?


Tu peux utiliser le fait que 0.94^n décroit et tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini et donc il existe un rang à partir duquel elle est plus petite que la (petite) quantité de gauche. N = 31 est le plus petit entier tel que c'est ok.

[clemmaths]

En fait on fait les matrices en spe maths, mais que ce soit en maths ou en spe on n'a pas encore vu les log !
Mais d'accord je vais faire comme vous m'avez dit, ou alors je peux essayer avec un algorithme

[Lostounet]

En fait on fait les matrices en spe maths, mais que ce soit en maths ou en spe on n'a pas encore vu les log !
Mais d'accord je vais faire comme vous m'avez dit, ou alors je peux essayer avec un algorithme

Ah d'accord.
Après il ne faut pas avoir peur de la fonction logarithme qui est très pratique (et que tu verras dans peu).
Tout ce que tu as besoin de savoir, c'est que si a>0, pour n entier positif:
ainsi que ln est strictement croissante sur son domaine de définition qui est... ]0;infini[

Du coup:

(0,752/5)>= 0,94^n
Comme la fonction ln est croissante (et que tout est strictement positif), l'ordre est conservé:
ln(0.752/5) >= ln(0,94^n)
donc par la propriété ci-dessus:
ln(0.752/5) >= n ln(0.94)

en divisant les deux membres par ln(0.94) qui est négatif:
n >= ln(0.752/4) / ln(0.94) ~ 30.6