DM suite

[Louise94]

Bonjour à tous,
J'ai un devoir maison à rendre et j'ai très bien réussi mon première exercice mais je bloque totalement sur le deuxième qui n'est pas du tout en rapport avec le premier.

Soit A=1/n (n+1) avec n un nombre entier naturel non nul
1: Déterminer deux réels a et b tels que A= a/n + b/n+1

2: Calculer n (sigma) k=1 1/k (k+1) puis 15 (sigma) k=3 1/k (k+1)

Je sais résoudre le dernier sigma en utilisant le premier mais je n'arrive pas à calculer le premier ca qui me bloque et je pense que la première question pourrais m'aider mais je n'y arrive pas non plus.
Merci de bien vouloir m'aider

[Lostounet]

Bonjour,
Pour tout n naturel non nul:

a/n + b/(n+1) = (a(n+1) + bn)/(n(n+1)) = (an + a + bn)/n(n+1) = (n(a+b) + a)/(n(n+1))
Or on sait que cette dernière expression, vaut aussi 1/(n(n+1)) pour tout n

Donc a vaut 1 et (a + b) vaut 0

[Louise94]

Merci beaucoup je n'avais pas pensé qu'en le mettant sur le même dénominateur j'aurais pu trouver le résultat, je ne comprend juste pas où passe le n du numérateur dans la dernière fraction.

[Lostounet]

Ben on constate que 1 = n(a+b) + a pour tout n
La seule manière pour que cela soit possible, c'est d'avoir (a + b) = 0 et a = 1 pour que ce soit toujours vrai !

[Louise94]

D'accord, j'ai compris. Je pense qu'avec ca je vais réussir à faire la suite. Merci

[Louise94]

J'ai réussie à faire le dernier sigma en calculant les termes un part un et en les additionnant, ne trouvant pas d'autre solution. Mais je n'arrive toujours pas à faire le premier car ce n'est ni une suite arithmetique ni géométrique, si quelqu'un aurait une idée pour le résoudre, merci de m'en faire part

[Lostounet]

Que trouves tu pour a et b?

[Louise94]

a=1 et a+b=0 donc b=-1

[Lostounet]

Ben oui !

[Louise94]

Mais avec cela je n'arrive pas à calculer n (sigma) k=1 1/(k (k+1))

[Lostounet]

Bon ta somme est illisible mais on devine ce que c'est.

Une telle somme est appelée somme téléscopique. Pourquoi? Car le fait d'avoir trouvé a et b, cela va créer un effet domino!

1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1) (par la question 1)

Mais tu constates que si on somme la quantité
1/k-1/(k+1) pour k=1 à 15 on trouve

(1-1/2) + (1/2-1/3) +(1/3-1/4)+.... et on constate que beaucoup de ces termes se simplifient! Amusant non?

[Louise94]

Merci