Sommes Directes

[Abilys38]

Bonjour,

Je suis depuis 45min sur cet exo et je m'en sors pas...
Est ce que quelqu'un pourrait m'aiguiller? (Sans me donner la réponse svp).

Merci beaucoup !!
Bonne soirée

[zygomatique]

salut

éventuellement travaille avec une base de G : complète une base de F' en une base de G

[Abilys38]

Pardon mais qu'est-ce qui peut m'assurer que G admet une base?

J'ai débuté les ev il y a peu et les bases sont vraiment nouvelles pour moi.

Qu'il y ait une famille génératrice, je suppose que cest sur, mais une base?

[Ben314]

Salut,
Perso, je vois qu'une seule méthode, c'est... les définition...
Si tu part d'un x quelconque dans E, tu montre relativement facilement qu'il peut s'écrire x=f+f'+h avec f dans F, f' dans F' et h dans GnG'.
Ensuite, tu suppose que =f+f'+h avec les mêmes convention et tu montre facilement que f=f'=h= ce qui termine la preuve.

(tu peut même faire les deux en même temps en montrant directement l'unicité de l'écriture x=f+f'+h pour un x quelconque de E si tu préfère)

[Abilys38]

Merci, l'aide a été utile.
En fait je ne savais pas comment démontrer que des sev sont en somme direct! Merci !

[zygomatique]

je ne savais pas que tu n'avais pas vu les bases ...

sinon je voulais ensuite te proposer la même chose que ben314 ...

c'est de toute façon la même chose ... sans passer par l'expression d'un vecteur dans une base ...

[Abilys38]

Peux tu poster ta solution avec les bases?
J'aimerais savoir comment tu t'y prends!!

Merci beaucoup

[Kolis]

Attention ! Pour utiliser une base, il vaut mieux un espace de dimension finie. Sinon cela veut dire qu'on sait beaucoup de choses !

[Abilys38]

Re bonjour,

Voilà un deuxième exercice, pas évident non plus je trouve.
J'ai une solution mais je ne sais pas si elle passe donc j'aurais aimé avoir votre avis avant de regarder la correction.
Je n'ai pas encore vu les dimensions vectorielles mais cet exercice est avant le chapitre sur les dimensions donc je pense qu'on en a pas besoin.

Mon idée:

Puisque E est de dimension fini, nous pouvons dire que E est composé d'un nombre n de vect tels que les vect sont tous en sommes directe.
En effet, supposons que différend de , alors il existe un élément de (ou inverse) qui appartient à et alors le vect tout entier.

On a là montré que E est composé de n sous espaces vectoriels en somme directe.

Maintenant, puisque chaque est le plus petit sev qui possède l'élément , est nécessairement inclue dans (sev de E qui contient x_i).

Voilà, pouvez vous me dire s'il y a des erreurs dans ce raisonnement, puis s'il est adapté à cet énoncé?

Merci!