Quadriques et fibré

[Lostounet]

Bonsoir,

Pourriez-vous m'aider à traiter l'exercice suivant un peu compliqué, d'une manière un peu simple?

1) Montrer que l'ensemble d'intersevh

2) Pour n = 3, est-ce que est difféomorphe à ? Prouver que est difféomorphe au groupe de Lie spécial orthogonal

Par exemple pour le 1) on pourrait appliquer le théorème de la valeur régulière...?

[Doraki]

Ben pour le 1 à un moment ou à un autre il va bien falloir que tu sortes un difféomorphisme non ?

[Lostounet]

C'est-à-dire qu'il vaut mieux utiliser une autre caractérisation de "sous-variété" ?

[Ben314]

Salut,
Je sais pas trop ce que c'est que "le théorème de la valeur régulière".
Par contre ce que je connais bien, c'est le théorème des fonctions implicites (et je soupçonne fort que, à quelques poil de c.. près, c'est la même chose...)

C'est-à-dire qu'il vaut mieux utiliser une autre caractérisation de "sous-variété" ?

Quand, comme ici, ton énoncé te donne la variété sous la forme (quelque chose), tu peut me dire ce que tu compte utiliser comme "autre caractérisation" ?

[Lostounet]

Salut Ben,

Ce théorème stipule que si on peut écrire l'objet comme f^-1 (quelque chose) avec la régularité de f pas trop mauvaise et avec ce quelque chose qui soit valeur régulière (si on évalue la différentielle de f sur cet objet... elle doit être "surjective" il me semble.............). Par exemple la sphère est f^(-1) de {1} avec f(x;y;z) = x^2 + y^2 + z^2 ainsi que
(2x ; 2y ; 2z) ne vaut pas 0 sur la sphère...
Alors c'est une ss -var

Un des pb ici est qu'il est facile de patauger avec un mix de "complexes" et de réels

Mais tu as raison cela doit provenir du thm des fonctions implicites...

[Ben314]

Effectivement : perso., je continue à appeler ça le théorème des fonctions implicites vu c'est un corollaire immédiat.

Et concernant le coté "mix", il me semble que c'est pas la peine d'avoir un bac+je_sais_pas_combien pour écrire qu'un complexe z, ça s'écrit x+iy avec x et y des réels, non ?

[Lostounet]

Effectivement, j'ai fait cela:
(x1 + iy1)^2 + .... + (xn + iyn)^2 = 0
<=>
(x1^2 + .... + xn^2) + 2i(x1y1 + x2y2.....) = y1^2 + ...y_n^2

Cela fournit-il que (x1y1... +x_ny_n) = 0 ? Ou j'ai bugué sur la sphère S^(2n) ?

Ce qui me gêne c'est pas de développer des complexes mais le mot "difféomorphe" sur des objets que je ne visualise pas trop. Quel est ton premier réflexe par exemple?

[Doraki]

premier réflexe = faire n=2 puis faire un dessin.

A part ça, oui tu obtiens (x1y1... +x_ny_n) = 0 . Et la sphère S(2n) tu n'en as pas parlé encore.

D'ailleurs géométriquement, (x1y1... +x_ny_n) = 0, c'est une équation qui te rappelle quoi ?

[Lostounet]

Heu...

Je ne vois pas trop? Désolé si ça saute aux yeux...

Tu sais que je n'ai jamais vu un chapitre de ma scolarité sur les coniques et les paramétrisations ? Et là on s'attend à ce qu'on manipule des sous-variétés et des objets géométriques.
Un peu embêtant... bref

[Doraki]

Ca dit quoi sur les vecteurs (x1...xn) et (y1...yn) ?

[Ben314]

(x1 + iy1)^2 + .... + (xn + iyn)^2 = 0
<=>
(x1^2 + .... + xn^2) + 2i(x1y1 + x2y2.....) = y1^2 + ...y_n^2

Cela fournit-il que (x1y1... +x_ny_n) = 0 ? Ou j'ai bugué sur la sphère S^(2n) ?

J'en suis pas certain, mais ton "fourni" donne un peu l'impression que tu as raté la moitié du bidule : pour qu'un complexe soit nul, il faut que sa partie imaginaire ET sa partie réelle soit nulle.

De plus, vu qu'on te demande de montrer que la sous-variété de R^(2n) en question est de dimension 2n-3, il faudrait t'attendre à avoir <biiiip> condition sur les coordonnées réelles.

Edit : et ça t'empèche nullement de répondre à la question de doraki concernant UNE des <biiiip> équations.

[Lostounet]

C'est un produit scalaire nul et les deux vecteurs sont orthogonaux
Mais ces deux vecteurs c'est un vecteur partie réelle et un autre partie imaginaire... c'est quoi que ça veut dire que les vecteurs parties réelles et imaginaires sont orthogonaux?

Oui ben en fait j'ai juste posté une partie de l'identification.
Je vais bien écrire les choses: on a aussi
Que x1^2+....=y1^2....
On dirait qu'ils ont aussi même norme

[Lostounet]

Un indice ?

[Ben314]

Tu as écrit toutes les équations concernant ton point M de R^(2n) ?
Si oui, ben c'est fini vu que tu as sous les yeux très exactement les équations du "fibré unitaire tangent à S^(n-1)".

[Lostounet]

Oui je vais les poster

Et as-tu une indication pour la 2? Quel est le plus simple pour ce genre de questions un peu ouvertes..

[Ben314]

Pour la première partie du 2), y'a pas 36 000 méthode, il faut trouver un invariant (à difféomorphisme près) qui est pas le même pour les deux variétés. Et là, ben évidement tout dépend des invariants que tu connait....

Pour la 2em partie, ben faut trouver un difféo. éventuellement en utilisant des "étapes intermédiaires" connues et là, de nouveau, tout dépend du bagage que tu as...

Edit : Sauf qu'en lisant pour de vrai la question, j'ai plus que des gtros doutes concernant la deuxième partie : S^3 est simplement connexe alors que SO_3(R) ne l'est pas...
(en fait, SO_3(R) est difféomorphe à S^3/R où la relation R identifie les points antipodaux de S^3)

[Lostounet]

C'est S^1×S^2 pour la première partie et S_3 pour la deuxième

[Ben314]

C'est quoi S indice 3 ?

Edit : j'ai rien dit : c'est le truc introduit dans l'exo...
Et effectivement, S indice 3 est difféomorphe à SO_3(R) et il faut construire le difféo. mais c'est immédiat vu la première question.

[Lostounet]

D'accord Ben.

Vu que c'est non immédiat pour moi je vais tout écrire le 1) comme cela on pourra voir ensemble ce difféo ..

[Lostounet]

Pour la première partie du 2), y'a pas 36 000 méthode, il faut trouver un invariant (à difféomorphisme près) qui est pas le même pour les deux variétés. Et là, ben évidement tout dépend des invariants que tu connait....

Je ne me souviens pas avoir rencontré des invariants... ?