[Problème] Polynomes degré 3 (première S)

par **Bibelwed** » 14 Oct 2006, 16:04

Bonjour, voilà j'ai un problème avec cet exercice :

1°) Déterminer le polynome P de degré 3 tel que pour tout réel x :
P(x+1) - P(x) = x² et P(1) = 0

Les questions suivantes découlent de celle-ci
et on a essayer avec un ami d'arriver à la 1° par les autres questions, c'est faisable, mais il est préférable de commencer par le départ :/.
On a cherché pendant quelques heures et il se trouve que l'on y arrive pas
Si vous avez simplement une partie de réponse ou un petit coup de pouce pour qu'on avance, ça serait sympathique :)

Merci d'avance
@+++

par **rene38** » 14 Oct 2006, 16:14

Bonjour

Pour commencer, P étant un polynôme de degré 3,
écris P(x) = ....

par **Bibelwed** » 14 Oct 2006, 16:16

En fait j'ai réussi à trouver quelques trucs :
P(x) = ax^3+bx²+cx+d (il me semble que c'est ça non ) ?
et P(x) = -x² + P(x+1)
J'ai développé la deuxième, qui me donne quelque chose d'énorme ^^'
et que a + b + c + d = 0 (pas sûr non plus)
Mais à partir de ces données (dont je ne suis pas sûr) je n'arrive pas à avancer...
Merci pour la réponse rapide :)

par **rene38** » 14 Oct 2006, 16:24

oui et P(1)=0 te donne la valeur de

.

(on remplace x par x+1 dans l'expression précédente et on développe et réduit)

puis

que l'on réduit
et en écrivant que cette dernière expression est égale à

,
on obtient les valeurs de a, b et c.

par **Imod** » 14 Oct 2006, 16:34

Je crois qu'il faut passer par le calcul un peu pénible de p(x+1)-p(x) , tu trouveras un polynôme

. Ensuite comme

il faudra résoudre le système e=1 , f=g=0 ( ça doit-être assez facile mais un peu long ) . Puis avec p(1)=0 tu trouveras d .

Imod

par **Bibelwed** » 14 Oct 2006, 16:35

Re
Je te remercie pour ton aide précieuse, alors voilà comment j'ai avancé :
d = -1
P(x+1) = ax^3 + 3ax² + 3ax + a + bx² + 2bx + b + cx + c + d

P(x+1) - P(x) = ax^3 + 3ax² + 3ax + a + bx² + 2bx + b + cx + c + d - ax^3
-bx² - cx - d

P(x+1) - P(x) = 3ax² + 3ax + 2bx + a + b + c

3ax² + 3ax + 2bx + a + b + c = x²

Et là je bloque, car je trouve que "a" a deux valeurs, donc me sui-je trompé dans le développement de P(x+1) ? ou est-ce plus bas ? ou alors je ne me suis pas trompé et dans ce cas pourquoi je trouve deux valeurs ?

EDIT : Imod je ne comprends pas ta notation ex² + fx +g , (je n'avais pas vu ton message au moment d'écrire) c'est pareil que ax² + bx +c ou pas du tout ? ^^'

par **rene38** » 14 Oct 2006, 16:39

Non, c'est bon :

3ax² + 3ax + 2bx + a + b + c = x² qui s'écrit aussi
3ax² + (3a + 2b)x + (a + b + c) = 1x² + 0x +0
d'où 3a=1 donc a = ...
3a+2b = ... et a=... donc b=...
etc...

par **Bibelwed** » 14 Oct 2006, 16:47

Merci tout fonctionne c'est super, il y a juste la question 2, j'ai juste besoin d'une info (pour savoir si c'est bon en fait) ils mettent :
2°) démontrer que pour tout entier n "supérieur ou égal" à 1:
1² + 2² + ... + n² = P(n+1)

Je ne veux pas la réponse, je veux juste savoir si le polynome P de la question 2 est le même que celui de la question 1 (si ça fonctionne avec lui quoi) ou s'il faut refaire toute une démo ?

Merci encore pour cette aide rapide et précise =)

par **Imod** » 14 Oct 2006, 16:52

Bibelwed a écrit:Imod je ne comprends pas ta notation ex² + fx +g , (je n'avais pas vu ton message au moment d'écrire) c'est pareil que ax² + bx +c ou pas du tout ? ^^'

les e , f et g sont les coefficients de p(x+1)-p(x) mais rené38 l'a bien expliqué . Il reste ensuite à trouver d .

Imod

par **rene38** » 14 Oct 2006, 17:03

C'est bien sûr le polynôme P de la question précédente

avec sa propriété

pour tout réel

(donc pour tout entier ...)

par **Bibelwed** » 14 Oct 2006, 17:03

Merci imod

Bibelwed a écrit:
2°) démontrer que pour tout entier n "supérieur ou égal" à 1:
1² + 2² + ... + n² = P(n+1)

Je ne veux pas la réponse, je veux juste savoir si le polynome P de la question 2 est le même que celui de la question 1 (si ça fonctionne avec lui quoi) ou s'il faut refaire toute une démo ?

En fait je trouve , si j'utilise la fonction du 1°) :
P(n+1) = (2/6)n^3 + (3/6)n² + (1/6)n + 5/6 (j'ai tout mis sur le même dénominateur : 6)
Mais là je vois pas en quoi ça m'avance ...
EDIT : Je n'avais pas vu ton message rene, mais je ne comprends pas pourquoi tu dis la "propriété" et en fait je ne vois toujours pas en quoi ça m'avance (désolé

)

par **Imod** » 14 Oct 2006, 17:08

C'est bien le même , tu peux démontrer la formule par récurrence en utilisant :

.

Imod

par **Bibelwed** » 14 Oct 2006, 17:13

Imod a écrit:C'est bien le même , tu peux démontrer la formule par récurrence en utilisant : .

Imod

Quand j'utilise

J'obtiens :

ce qui ne correspond pas :/
Ou alors je m'embrouille dans mes formules (ce qui est possible ^^')

par **Imod** » 14 Oct 2006, 17:20

Il ne faut pas utiliser la forme explicite du polynôme , si tu supposes que

alors

donc

.

Imod

par **rene38** » 14 Oct 2006, 17:33

Moi, quand j'utilise

, j'écris :

P(2)-P(1) = 1²
P(3)-P(2) = 2²
P(4)-P(3) = 3²
...................
P(n-1)-P(n-2) = (n-2)²
P(n)-P(n-1) = (n-1)²
P(n+1)-P(n) = n²
---------------------
En additionnant membre à membre :
P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+P(4)-P(3)+...+P(n-1)-P(n-2)+P(n)-P(n-1)+P(n+1)-P(n) = 1²+2²+3²+...+(n-2)²+(n-1)²+n²
Reste à réduire le premier membre !

par **Imod** » 14 Oct 2006, 17:39

Oui rene38 , ça marche aussi et c'est même plus simple .

Imod

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