Term S - Spé Math - Chiffrement linéaires

[Lowixx]

Bonjour, j'ai un dm pour Lundi et le premier exercice porte sur le chiffrement linéaires.

J'ai la clé a=21 et b=11.

Je sais (des précédentes questions) que :
• 21u + 26v = 1 pour u=5 et v=-4,
c-a-d 21×5 + 26×-4 = 1
• l'inverse de 21 mod 26 est 5,
c-a-d 21x' = 1 mod 26 pour x'=5

Je cherche à dechiffrer D, je sais que le résultats est M. On peut le savoir en chiffrant chaques lettres une par une ou en s'aidant d'internet.

Je penses pas que le but de l'exercice est de trouver M en chiffrant toutes les lettres.

Sur internet j'ai trouvé deux possibilités, soit faire : x=a'(y-b) mod 26, ce qui marche
ou faire b'=a'(26-b) mod 26 et ensuite faire x=a'×a+b' mod 26
x étant le nombre chiffré qu'on cherche et a'=x'

Seulement, je ne comprends d'où on trouve ces deux formules, j'aimerais comprendre. Merci.

En espérant avoir été clair.

[Pseuda]

Bonsoir,

J'imagine ton chiffrement linéaire c'est y=21x+11 (26). C'est ça ? Mais on n'a pas : 21 * 13 +11 = 4 (26).

[Lowixx]

Oui.
Pourquoi prend tu 13 ?

[Pseuda]

13 pour M, et 4 pour D.

[Lowixx]

On commence à A=0, B=1, C=2, D=3

[Pseuda]

C'est inhabituel mais pourquoi pas.

Donc on cherche à résoudre l'équation d'inconnue x : y=21x+11 (26) :
ssi 21x=y-11 (26)
ssi 5*21x=5(y-11) (26)* car 5 est premier avec 26
ssi x=5(y-11) (26)
(les = sont des congruences)

* 26 divise 21x - (y-11) ssi 26 divise 5* (21x - (y-11)) : le sens -> est évident, le sens <- vient de ce que 26 est premier avec 5 (th. de Gauss)

[Lowixx]

Pourquoi peut-tu enlever le 5×21 ? Du côté de de x ?

[Pseuda]

Car justement 5 est l'inverse de 21 (26), soit : 5*21=1 (26) ; d'où l'intérêt d'avoir trouvé les coefficients de Bézout.

[Lowixx]

D'accord ! Je crois comprendre, je vous tiens au courant demain dans la matinée si je rencontre d'autres problème!