Intégrale impropre du sin(1/t^2) !!!

[mathelot]

[Ben314]

Salut,
Si c'est juste le résultat que tu veut, c'est , mais si tu veut une preuve, ben c'est passablement... pas évident...
C'est quoi le contexte : exo. à faire ? avec indics ? question que tu te pose ? tu as quel niveau ?

[Ben314]

Et tu as pas la moindre indication dans l'exercice, on te demande uniquement et exclusivement de montrer que l'intégrale est convergente et de calculer sa valeur ?

Si c'est le cas, le type qui a posé ça, il est quand même pas mal "foutraque" dans sa tête...

[Ben314]

Une méthode (mais il faut déjà pas mal de culture pour finir...)
changement de variable)
Intégration par parties)
changement de variable)

via un contours adapté dans C (*))


Le (*), c'est pas trop niveau L2...

Il y a (des tas) d'autres méthodes moins directes que celle là, mais demandant moins de connaissances (en particulier sans connaitre l'analyse complexe), mais c'est quasi inimaginable des les trouver sans au minimum savoirs quelles sont les fonctions intermédiaires à utiliser.
Vu la tête du résultat, il y a éventuellement des méthode utilisant les transformées de Fourrier (éventuellement inverses), mais je ne les connais pas par cœur...

[Lostounet]

via un contours adapté dans C
Le (*), c'est pas trop niveau L2...

Tu utilises un lacet qui s'arrête en 0? Ou tu utilises une parité ? Un demi-disque marche pour le théorème des résidus?

[Ben314]

Pour R>0 fixé, tu prend un lacet qui parcourt [0,R], puis l'arc de cercle R.exp(i.theta) pour theta de 0 à Pi/4 puis qui revient en 0 en ligne droite.
Si tu intègre exp(-z²) sur ce parcours, le théorème des résidus te dit que ça fait 0 (pas de pôles).
Tu décompose l'intégrale en 3 "morceaux" et tu finit par faire tendre R->+oo.

[Lostounet]

Pour R>0 fixé, tu prend un lacet qui parcourt [0,R], puis l'arc de cercle R.exp(i.theta) pour theta de 0 à Pi/4 puis qui revient en 0 en ligne droite.
Si tu intègre exp(-z²) sur ce parcours, le théorème des résidus te dit que ça fait 0 (pas de pôles).
Tu décompose l'intégrale en 3 "morceaux" et tu finit par faire tendre R->+oo.

D'accord merci. C'est même le thm de Cauchy (fonction holomorphe sur lacet)
Un quart de camembert donc si j'ai bien compris

[Pythales]

(Toute) petite variante :
poser ce qui donne et une IPP donne
et si tu connais les intégrales de Fresnel ...