Question indicatrice d'euler

[Abilys38]

Bonjour,

J'ai une question concernant la question 2b) .

Je trouve en très peu de calcul que =
Mais il semble que je dois montrer =

Est ce une erreur dans la consigne ou une erreur de ma part?
En effet, le produit allant de 1 à r, je vois pas comment on pourrait démarrer à


Merci d'avance

[Ben314]

Salut

Je trouve en très peu de calcul que =
Mais il semble que je dois montrer =
Est ce une erreur dans la consigne ou une erreur de ma part?
En effet, le produit allant de 1 à r, je vois pas comment on pourrait démarrer à

Et je t'avoue que je vois pas bien non plus ce que viendrait f... là dedans (la connaissance d'un nombre premier p ne donne quasiment aucune information sur qui est le nombre premier précédent)
Bref, c'est bien qu'il faut lire dans le 2)b) et pas autre chose.

Par contre, je t'avoue que je comprend franchement pas le "sel" de cet exercice vu que dans les formules de départ, on peut non seulement se débrouiller pour avoir pgcd(M,N)=1, mais on peut même se débrouiller pour avoir M=N=1 (donc qu'il n'y ait ni M, ni N).
Donc je comprend pas bien l'intérêt de ce N et de ce M.
Après, c'est peut-être aussi lié au fait (hélas archi fréquent à l'heure actuelle) que l'énoncé utilise les symboles et sans même avoir précisé de quoi il s'agit : autant il est relativement clair que ce sont des entiers naturels (mais il faudrait quand même l'écrire....) autant c'est pas complètement clair de savoir si on peut les choisir nuls ou pas.....

[Abilys38]

Ce que j'aime bien dans cet exo c'est que c'est une bonne intro dans l'indicatrice d'Euler, avec de l'arithmétique, des groupes, un peu de calcul.
Aprés, je comprend pas l'intérét de N et M non plus, ça m'a + embrouillé qu'autre chose pour le moment.

[Abilys38]

Par contre, pour la 2.c, je ne sais pas de quelle formule partir pour montrer l'égalité ...

[Ben314]

Déjà, je viens de réagir à un truc, c'est que, pour que la formule du 2.b) soit valable, il faut que les soient non nuls ce qui signifie qu'au départ, il faut que les et les soient eux même non nuls.
Mais je trouve ça plus qu'abominable d'être obligé de rentrer dans les détails de calculs des questions pour arriver à reconstruire l'énoncé complet. A mon sens, c'est totalement inadmissible (i.e. si c'est un quelconque truc que tu as à rendre, il me semble qu'il faut forcément l'écrire et signaler que c'est scandaleux).
Déjà que les étudiants sont pas toujours super forts, s'il doivent en plus apprendre à faire les exercices en se disant "jusque là, je sais toujours pas bien quel est le bon énoncé" puis "à, tient, à partir de là, j'ai plus le choix, pour que le résultat qu'on me demande de montrer soit vrai, il faut que l'énoncé ça soit celui là", ben je pense que c'est pas gagné...

Et concernant le 2)c), ça ne m'étonne pas que tu n'y arrive pas vu que ça me semble parfaitement faux sans hypothèses supplémentaires, plus précisément sans supposer que M est premier avec , c'est à dire que l'écriture correspond à avoir "cassé en deux" la décomposition en nombre premier de m (et évidement idem pour n)
Par exemple, vu l'énoncé, même si on rajoute qu'il faut que , partant de m=12 et n=10 (donc d=2), on est forcé d'écrire que , mais par contre on peut écrire soit , soit écrire (dans les deux cas, on a bien pgcd(M,N)=1).
Vérifie que dans le premier cas (M=3) la formule du 2)c) et correcte, mais que dans le deuxième cas (M=6), elle est fausse.

Bref : énoncé "à chier".

[Abilys38]

Oui car mon idee était de dire que C(n) (C étant indicatrice d'euler mais je suis sur téléphone)
= C(N) * C(p1...pr) etc... Mais il faut effectivement que N sois premier avec les pi.
Même raisonnement pour C(m).
C'est donc ca la solution n'est ce pas?

[Ben314]

Je pense que oui.
Modulo bien entendu de bricoler l'énoncé...

[Abilys38]

Ok je vais regarder. Merci.
J'en profite pour poser une autre question. Soient E et F deux groupes.
On sait déjà qu'en posant f une application de E vers F, f étant un morphisme, on a:


Est ce que cependant, pour pouvoir affirmer que:
Le nombre d'éléments inversibles dans E et dans F soit le même, il faut que f soit bijective (un isomorphisme, c a d que ker f = {e}. Je m'explique.
Supposons que f soit non bijective. ker f différent de {e}.
Pour un y qui appartient à l'ensemble d'arrivé F (d'antécédent u), inversible, on a = e'.
Mais puisque e' admet plusieurs antécédents, rien n'affirme que

Donc, il faut que f soit un isomorphisme pour que:
où U est l'ensemble des inversibles.

Pouvez vous confirmer ??

[Ben314]

Déjà, dans un contexte absolument quelconque, pour pouvoir dire "qu'il y a autant de x tels que... que de y tels que...", ben effectivement, tu as plus que fortement intérêt à avoir une bijection x<->y.

Ensuite, dans le contexte des groupes, ta question est complètement stupide vu que, par définition d'un groupe, tout les éléments sont inversible (pour la loi du groupe bien sûr), donc compter "les éléments inversibles du groupe G", ben ça revient à compter les éléments de G.
Pour que ta question ait du sens, il faut évidement se placer dans le contexte des anneaux où, bien entendu, le terme "inversible" est à interprété comme "inversible pour la loi x" vu que tout les éléments de l'anneau sont inversible pour la loi + alors que seuls certains le sont pour la loi x.
Évidement, dans ce contexte, la bonne notion (pour la fonction f) est celle de morphisme d'anneaux (commutatifs unitaires) et effectivement, il suffit (et pas il faut) que f soit bijective (donc un isomorphisme) pour que card(U(E))=card(U(F)) :
f isomorphisme d'anneau de E->F => card(U(E))=card(U(F))
mais la réciproque est trivialement fausse.

[Abilys38]

Effectivement je parlais d'anneaux, et pour être plus précis dans l'application de z/abz vers z/az x z/bz. Pour prouver que phi(ab) = phi(a) x phi(b)
Autant pour moi !
Pourquoi rectifier "il faut que" à il suffit que ?"

[Ben314]

Pourquoi rectifier "il faut que" à il suffit que ?"

Pour une raison on ne peut plus simple, c'est que si tu écrit "il faut que", c'est faux alors que si tu écrit "il suffit que", c'est vrai.
Lorsque f est un morphisme de E->F on a
f bijective => card(U(E))=card(U(F)) c'est vrai
card(U(E))=card(U(F)) => f bijective c'est faux

Ensuite, au niveau du français, il y a des tonnes de façon d'écrire que P => Q.
En vrac :
- P implique Q.
- Si P alors Q.
- Lorsque l'on a P, on est sûr d'avoir Q.
- Pour avoir Q, il suffit d'avoir P.
- P est suffisante pour avoir Q.
- Si on veut avoir une chance que P soit vrai, il faut obligatoirement que Q le soit, sinon c'est foutu (ça, c'est plus ou moins de la contraposition vu ça dit que si Q est fausse, alors on est sûr que P est fausse)
- Pour que P soit vrai, il est nécessaire que Q le soit.
- Q est nécessaire pour avoir P.

Donc, pour traduire que P implique Q, mais que Q n'implique pas P, on peut écrire par exemple.
Pour avoir Q, il est suffisant (mais pas nécessaire) d'avoir P.
Pour avoir P, il est nécessaire (mais pas suffisant) d'avoir Q.

Et tout ça explique le sempiternel "condition nécessaire et suffisante" qu'on trouve partout pour traduire une équivalence.

[Abilys38]

Ok je comprend !