J'aurais quand même tendance à penser que, si tu as un vague cours avec quelques vagues théorème, ben le truc en question, il est super trivial.
Par contre, je suis comme (je pense) Doraki : ces trucs là, quand j'étais étudiant, j'y ait pas eu droit et je l'ai jamais enseigné donc le vocabulaire, c'est un peu au pif...
Je suis à peu prés sur que le
, il désigne la proba d'aller de x vers y en un coup et que le
c'est la proba d'aller de x vers y en
coups c'est à dire les coeff. de la "matrice de transition" M pour le premier et ceux
pour le second.
Ensuite, ton terme de "proba stationnaire", je pense que c'est les vecteurs propres de M (ou de sa transposé en fonction de la convention choisie) dont la somme des coordonnées fait 1, mais, juste à titre de (piqure de) rappel,je te signale que c'est pas parce qu'un ensemble est compact que ça signifie qu'il est non vide...
Et qu'à priori je vois pas non plus très bien le rapport entre "extraire des suites" et montrer que le bidule est non vide (évidement, ça dépend d'où tu les extrait tes fameuses suites...)
Pour "récurrents positifs", tu peut un peut expliciter ce que ça signifie ainsi que le théorème précis que tu as dans ton cours ?
EDIT : Je suis tombé là dessus
https://www.math.u-bordeaux.fr/~mchaban ... RS5-CM.pdfQui est court, simple et basique et qui répond parfaitement à la question :
C'est le th. page 19 qui marche vu que ton hypothèse "il existe r tel que..." implique trivialement "l'irréductibilité" du bidule (c'est même plus fort) et la preuve du th. juste en dessous ne fait qu'une vingtaine de lignes (d'algèbre linéaire élémentaire) et ne demande aucun pré-requis.
Bref, je t'inciterais fort à regarder le pdf en question, à voir que c'est passablement trivial, puis à regarder dans ton cours qui risque d'être bien plus compliqué (en englobant par exemple les cas avec une infinité d'état) où se situe le(s) résultat(s) qui disent la même chose (sans doute de façon plus théorique et plus générale).