Intégrale à paramètres

[Ncdk]

Bonsoir,

On pose

1. Pour quelles valeurs de , est-elle définie ?
2. Montrer que F est dérivable sur
3. Calculer et en déduire l'expression de en terme de fonctions usuelles. On rappelle que

C'est surtout la première question qui m'embête, je sais pas du tout comment procéder, déjà regarder si F(x) à un sens, et ensuite regarder ce qui se passe si x = 0 ; x < 0 et x > 0 ? Mais c'est les bornes de l'intégrale qui vont poser problème, serait-elle pas plus judicieux de considérer d'abord l'intégrale sur et pour les 3 cas de x ?

Merci de votre aide

[Archytas]

C'est surtout la première question qui m'embête, je sais pas du tout comment procéder, déjà regarder si F(x) à un sens, et ensuite regarder ce qui se passe si x = 0 ; x < 0 et x > 0 ? Mais c'est les bornes de l'intégrale qui vont poser problème, serait-elle pas plus judicieux de considérer d'abord l'intégrale sur et pour les 3 cas de x ?

Si ça peut t'aider de faire comme ça. Mais le cas x<0 et x=0 sont vite réglés sans besoin de distinguer les cas. Ensuite pour le cas x>0 une étude aux bornes suffit, je ne vois pas très bien pourquoi tu veux t'embêter à diviser l'intégrale sur deux intervalles.

[Kolis]

Bonjour !
Pour dériver tu as deux possibilités :
1. justifier une "dérivation sous signe somme" si tu connais ce théorème.
2. faire un changement de variables et trouver le produit d'une expression en par une intégrale où la lettre est absente : il te reste à dériver le produit d'une fonction par une constante.

[Ncdk]

@Archytas :

Je sais pas à vrai dire pourquoi je veux scindé l'intégrale en deux, mais c'est pas ce qu'on fait face à une intégrale impropre ? On regarde l'intégrale sur un segment et on regarde l'autre partie, surtout quand nos bornes ressemble à : .

Est-ce pas plutôt une précaution ? J'ai croisé d'autres exercices où c'était comme ça, on scindé l'intégrale en deux parties, sans trop savoir la raison.

@Kolis :

En effet, c'est surtout pour utiliser la dérivation sous le signe intégrale, mais je voulais déjà m'assurer sur quoi F(x) est bien définit, généralement le reste suit tout seul, en faisant attention quand on domine la dérivée partielle.

[zygomatique]

salut

1/ couper en deux une telle intégrale c'est pour mieux expliciter (mettre en valeur) les éventuels pb en une borne et pas en l'autre ...

avec un peu d'expérience on s'en passe (sauf nécessité absolue bien sur)

2/ il est évident qu'à un moment les croissances comparées fonction puissance / exponentielle interviendront pour conclure

3/ en 0 (au voisinage de t = 0) on a toujours (pour x <> 0) : ... ce qui prouve que .... ??

[chan79]

salut
on pose
Au voisinage de t=0, on peut chercher un équivalent de
On trouve .
Si on pose , la fonction est continue en 0 et l'intégrale converge pour cette borne.

[Ncdk]

Très bien merci, les équivalents aux bornes je les vois y a pas de soucis, mais c'est en fait dans le raisonnement que c'est pas clair pour moi.

Pourquoi dire qu'en 0 on a un équivalent par une fonction intégrable sur ]0;+inf[ et en +inf on a la même chose, qu'est-ce que ça prouve sur l'intégrabilité de notre fonction ? Je crois que j'ai la réponse, mais je veux m'en assurer, c'est parce-qu'en fait, dans une intégrale, seul les bornes nous intéresse, car quand on primitive, ce qui rentre dans le calcul de l'intégrale c'est uniquement ce qui se passe sur les bornes.

[zygomatique]

dire qu'en 0 on a une fonction intégrable c'est pour dire qu'on n'a pas un truc qui explose comme 1/x (classique) par exemple (alors que 1/racine (x) convient par exemple)

idem en +oo ou si on a un truc du genre (classique) 1/x à nouveau ça explose ...