Petit soucis d'arithmétique

[Ncdk]

Bonsoir,

Je voulais montrer que si p et q sont des nombres premiers distincts,

Je pensais que j'y arriverai facilement, mais au final non, je sèche à la conclusion.

Je voulais déjà montrer mon raisonnement :

Supposons que , alors il existe a et b des éléments de tel que :

Donc . Or car p est premier.
Alors 2ab = 0 implique que a ou b = 0.

Si b=0 : ce qui est absurde vu que q est premier donc

Si a=0 et on a que et

Il existe et tel que. (Je me pose la question à ce moment, est-ce que c'est pas plus judicieux de directement mettre la condition que PGCD(x,y)=1, sinon on va se ramener à un truc fois une fraction irréductible ou bien on a directement un entier et dans ce cas on a une absurdité assez rapidement)

Bon supposons PGCD(x,y) = 1, on a alors . Comme p et q sont des nombres premiers, distincts, on a que q | x et p | y.

Il existe x' et y' dans Z tel que x=qx' et y=py' ce qui implique que (car )
donc alors p|x' et q|y'.

Je sais pas comment conclure du coup, il doit me manquer un résultat ou l'astuce pour arriver à cette absurdité

[Ben314]

...supposons PGCD(x,y) = 1, on a alors . Comme p et q sont des nombres premiers, distincts, on a que q | x et p | y <= inutile

donc x=qz et qy²=p(qz)² puis y²=pqz² donc p|y et c'est en contradiction avec le fait que PGCD(x,y)=1 vu qu'on a déjà p|x.

[Ncdk]

Ah oui très bien merci. C'était bien plus rapide alors, et du coup si je suppose pas le PGCD(x,y)=1, on a l'absurdité directement non ?

On a le cas où x/y est dans Z* et le cas ou x/y c'est un entier fois une fraction irréductible (qui est le cas déjà prouvé au final) donc en fait seul le cas x/y entier est à vérifié mais bon, suffit de mettre au carré et on devrait avoir du avec a=x/y, et c'est pas possible parce-que q et p sont des nombres premiers. Je pense que j'ai pas dit de bêtises ^^

[Ben314]

Je comprend pas trop ce que tu raconte : a mon sens le cas où x/y est un entier n'est pas franchement un "cas particulier", il se traite exactement comme les autres.

Sinon, une autre façon (à peine différente) de rédiger, ça serait d'écrire que :
Si on prend irréductible, alors l'est aussi et comme trivialement est irréductible, l'égalité implique que et ce qui est pas trop possible...

[Ncdk]

Oui mais ce que je voulais dire c'est que le PGCD de x et y n'est plus 1 en fait dans le cas des entiers, c'est pour ça que je pensais que ce cas là devait se traiter à part.

[Doraki]

Si t'as un entier par exemple 5, quand tu l'écris sous forme de fraction irréductible tu as 5 = 5/1 donc x=5 et y=1, et tu as bien PGCD(x,y) = 1 je vois pas trop où tu vois un bug.

[Ncdk]

En effet merci bien