Extension de corps et degré

[Ncdk]

Bonjour,

J'ai une question à propos du degré d'une extension.

Si on considère K et L deux corps commutatifs, on dit que L est une extension de K que l'on note L/K. Est-ce que c'est vrai que [L:K]=1 signifie que L = K ? [L:K] est le degré de l'extension L/K.

Parce-que j'ai déjà croisé ça, mais je sais pas si c'est général et je vois pas la raison au final.

[Mimosa]

Bonjour

D'abord il faut évidemment supposer que . Le degré de l'extension est la dimension de l'espace vectoriel sur le corps . Maintenant tu penses à une base de ...

[Ncdk]

Ah oui en effet, j'ai pas pensé à mettre l'inclusion...

Hum... Déjà je pars du fait que [L:K]=1, parce-que une base de L sur K, c'est un vecteur en fait, mais je vois pas pourquoi ça dit que L=K.

[Doraki]

Ben si L contient K et que les opérations + et * de L étendent celles de K, L est un K-espace vectoriel (en posant x+y = x+y et x.y = x*y)
Si L est en plus de dimension 1 ça veut dire que si tu prends n'importe quel élement non nul de L ça te donne une K-base de L. Par exemple {1} est une base de L et ça dit que tout élément de L s'écrit de manière unique sous la forme k*1 ( = k) où k est dans K. Donc L est inclus dans K.

[Ncdk]

Excellent ! Merci de votre aide