Suite arithmétique problème de compréhension

[jeffrey17]

Bonjour, je rencontre un soucis pour résoudre une suite arithmétique:

Elle est de la forme "un+1 = (-60 + un ) - (n * 78)
U0 = -102

Le but est de calculé U10

J'arrive à calculer U10, mais en calculant successivement les valeurs de u1, u2, u3... jusqu'à u10!
J'ai par exemple (pour u1):

u1 = (-60 -102 ) - (0 * 78)
u1 = -162

u2 = (-60 -162) - (1 * 78)
u2 = -222 - 78
u2 = -300
...

Je sais que par définition
Un = U0 + nr --> mais là vu que la raison ne semble jamais là même, ça n'est pas applicable?

Ma super vraie question: comment arriver à calculer directement u10?

[siger]

bonjour

pas de moyen direct...
comme tu l'as fait remarquer ce n'est pas une suite arithmetique!

le seul moyen que je vois est de calculer u(n) en fonction de n
u(n) = u(n-1) -60 - 78*(n-1)
u(n-1) = u(n-2) -60 - 78(n-2)
.....
u2 = u1 -60 -78*1
u1 = u0 -60

et en additionnant toutes les equations et en simplifiant on obtient (sauf erreur)
u(n) = u0 - 60*n -78*( 1+2+3+...+n-1)
u(n) = .......

[capitaine nuggets]

Salut Jeffrey !

Une autre manière de trouver sans faire trop de calculs.

De ta relation , on a l'égalité : .
En prenant les égalités pour allant de jusqu'à , et en les sommant membre à membre, on a :



où de façon générale, si on a une suite de réels , (autrement, c'est la somme des termes de la suite d'indices consécutifs où l'on commence à sommer à partir de et on s'arrête à ).

En remarquant que :

,

(presque tous les termes se compensent) on en déduit que .
Reste alors à calculer . Soit on utilise des propriétés du symbole d'addition , soit on revient à une écriture avec des . Dans les deux cas, on a :



Il faut donc connaître la somme de entiers consécutifs (il y a dix entiers entre et ) en comptant à partir de (la somme commence à ). Ca peut se calculer à la main. Sinon, on utilise l'égalité suivante :



Dans le cas où , on a que . Dans la somme , on additionne fois (il y a entier entre et ) le nombre donc .

En conclusion, , donc par conséquent :

[jeffrey17]

Merci à tous les deux, vous m'avez bien aidé