Integration

[ananas93]

Bonjour,
Un exercice d'intégration me pose soucis. Pour la première question, je dois calculer f1, f2 et f3, en utilisant la fonction f(x)=|x|, et montrer que fn<f(n+1)

Je trouve f1= indicatrice([-infini,-1]U[1,+infini])+0,5*indicatrice[-1,-0,5]U[0,5;1])+indicatrice[-3/2;-1]U[1;3/2])
Puis je dire que ceci vaut 5/2? Je ne sais pas si x appartient à ses ensembles...

Ensuite en autre question, je dois Montrer que limn fn(x) = f(x) pour tout x ∈ Ω. Indication: comparer f(x) et
fn(x) sur U(E^n indicek)

J'ai trouvé que U(E^n indice k)=]-(k+1)/2;-k/2^n[U]k/2^n;(k+1)/2[. Que puis je en faire?

Enfin, je dois montrer que si f est bornée, la convergence est uniforme. J'ai pensé à utiliser le théorème de Dini, mais je n'arrive pas à montrer que fn est continue..

Si quelqu'un pouvait m'éclairer, il me serait d'une grande aide.
En vous remerciant d'avance

[Ben314]

Salut,
Bon, ben comme qui dirait, "ça part pas gagnant..."

Déjà, ton est clairement faux : Pour n'importe quelle fonction la définition te dit que

qui ne contient que deux termes non nuls et pas trois.
De plus, pour n fixé, il est clair vu leur définitions que les différents plus forment une partition de R alors que dans ce que tu propose, ce n'est pas le cas : ta première indicatrice "chevauche" la dernière.

Puis je dire que ceci vaut 5/2 ? Surement pas vu que, rien qu'en x=0, la fonction que tu propose vaut 0.

Je ne sais pas si x appartient à ses ensembles. C'est dénué de sens : ce que tu as écrit la ligne juste au dessus, c'est une fonction de R dans R et il n'y a pas le moindre "x" qui apparait dans la formule en question.
Tu peut bien sûr évaluer cette fonction en un certain réel (i.e. chercher l'image de "x" par f_1 comme on apprend à le faire au collège), mais de nouveau de se demander "où est x", ça veut rien dire vu que c'est toi qui va choisir quel est le "x" dont tu cherche l'image donc le "x", il sera... là où tu as choisi de le prendre... et c'est tout.

mais je n'arrive pas à montrer que fn est continue. Trace moi sur un graphique le graphe de deux fois l'indicatrice de [0,1[ plus trois fois l'indicatrice de [1,2[ puis dit moi si, à ton avis, une fonction de ce style a la moindre chance d'être continue.

[ananas93]

Pour f1, Indicatrice de F1=Indicatrice de f^-1[1,+infini].
Puisque f(x)=|x|, je peux dire que F1=Indicatrice de([-infini,-1]U[1,+infini])?
Pareil pour les autres indicatrices.

En effet, fn n'est pas continue, je ne peux donc pas utiliser le théorème de Dini..

[Ben314]

Concernant f1, j'avais pas regardé en détail et j'ai été un peu lapidaire : en fait tu as juste un terme de trop et c'est sans doute lié à une mauvaise lecture de l'énoncé qui dit que la somme se fait sur les k positif et strictement plus petit que n2^n.

[ananas93]

Merci beaucoup je n'avais pas remarqué ce detail en effet.
Pour résumer, f1=1*Indicatrice[-infini,-1]U[1,+infini]+1/2*indicatrice[-1,-1/2]U[1/2,1] , est ce correct?

[Ben314]

C'est "presque" bon : les intervalles de la deuxième indicatrices, ils sont ouvert d'un coté et fermés de l'autre.

[ananas93]

Merci beaucoup j'ai réussi à exprimer f1,f2 et f3.
Pour la question 2, je pensais à faire une réccurence.
Pour la question 3, j'aurais par contre besoin d'indication pour démarrer, je ne sais pas par où partir..

[Ben314]

Si la "question 2" c'est "montrer que la suite (f_n)_n est croissante", je suis pas certain qu'une récurrence serve à quoi que ce soit : si tu prend un réel x quelconque, il te suffit d'évaluer (en fonction de "où" est situé f(x)) les valeurs de et pour avoir la réponse.

Idem pour la question suivante.

En bref, le but c'est surtout d'écrire la fonction de façon plus intelligible que ce que donne l'énoncé qui, si on a pas l'habitude, peut sembler "pas mal obscur".
Par exemple, si je te dit uniquement que la fonction de départ, elle est telle que , est ce que tu peut en déduire combien vaudra par exemple ?

[ananas93]

On a f^-1(pi)=1
Donc, pour f3(1), les indicatrices des intervalles inferieurs a 12/4 vaudront zéro puisque f^-1(11/4) inferieur à 1 ainsi que f^-1(12/4) inferieur à 1. A partir de [12/4,13/4] l'indicatrice vaudra 1 car f^-1(12/4)<1 et f^-1(13/4)>1, ainsi 1 appartient a Indicatrice f^-1([12/4,13/4])
Je trouve donc que f3(1)=55,5..

[Ben314]

Sur le principe, c'est bien ça et ca montre déjà que pour toi, c'est pas du "charabia complet" la formule en question.
Sauf que
- Pour n=3, c'est des intervalles dont les bornes sont des ?/2^3 = ?/8 que tu va avoir donc normalement, tu va avoir des huitièmes qui trainent un peu partout.
- Mais surtout, logiquement (vu la question suivante), tu devrait trouver un f3(1) "relativement proche" de pi vu que fn(1) doit converger vers f(1)=pi et même tu devrait trouver un truc "plus petit que pi, vu que la suite (fn(1))n est croissante (toujours au vue des questions suivantes)
Donc le 55,5 que tu donne, forcément, c'est pas ça.

Bref, avec un peu d'imagination, on peut se dire que f3(1), ça risque d'être 25/8 qui et les ?/8 le plus proche de pi "par en dessous" et effectivement, c'est bien ça (essaye de le trouver par toi même).
De même, le f10(1), ça va être le ?/2^10 (=?/1024) le plus proche de pi "par en dessous".
Et c'est avec cette vision là qu'on voit assez clairement que, quelque soit x, la suite (fn(x))_n est croissante et tend vers f(x).
Et il ne reste "plus qu'à" écrire tout ça proprement (ce qui n'est pas forcément facile).

[ananas93]

Je crois avoir saisi l'idée.
Pour la question 2, j'observe que si f(x) appartient[n,infini], fn=n et f(n+1)=n+1 donc f(n+1)>fn
si f(x) appartient à [0,n[, dn=1/2^n+2/2^2+...+(n2^n-1)/2^2 et f(n+1)=1/2^(n+1)+2/2^(n+1)+...+(n+1)2^2+1-1/2^(n+1). Dans f(n+1) on retrouve les termes de fn car 2/2^(n+1)=1/2^n, 4/2^n+1=2/2^n.. auxquels on rajoute d'autres termes positifs.

Cependant, je ne comprend toujours pas comment répondre à la question 3...

[Ben314]

Sur l'idée, c'est à peu prés correct, mais dans le détail, ça déconne.
Par exemple, si tu veut que f(n+1)(x) soit égal à n+1, il faut que x>=n+1 ce qui est une condition "plus forte" que le f(x)>=n que tu as écrit.
Ensuite, ça va pas trop : que ce soit f(n)(x) ou f(n+1)(x) dans la soit disant somme qui les définis, il y en aura un et un seul de non nul (vu que les ensembles des différentes indicatrices qui apparaissent sont disjoint).
Le tout c'est de trouver (dans les deux cas) lequel des termes sera non nul puis de regarder quel est le coeff. devant l'indicatrice correspondante.

[ananas93]

Si f(x) apaprtient à [k/2^n,(k+1)/2^n[, fn=k/2^n.
f(x) appartient donc également à [2k/2^(n+1),2(k+1)/2^(n+1)[, fn+1= k/2^n
Je dois faire erreur quelque part...

[ananas93]

Enfin f(n+1)=k/2^n+(2k+1)/2^n+1 selon moi, mais vous aviez dit qu'il ne restait qu'un terme...

[Ben314]

Si f(x) apaprtient à [k/2^n,(k+1)/2^n[, fn=k/2^n.
f(x) appartient donc également à [2k/2^(n+1),2(k+1)/2^(n+1)[, fn+1= k/2^n
Je dois faire erreur quelque part...

C'est de nouveau "presque" ça, sauf que, au rang n+1, les intervalles considérés, il sont de la forme et que ton intervalle il n'est pas de cette forme là (et là où c'est clair que tu te gourre, c'est que si ton truc était vrai, ben on aurait pour tout n)

Donc il faut le "couper en deux" en écrivant que et donc considérer deux possibilités selon que est dans le premier ou le deuxième intervalle et vérifier que, dans les deux cas, on a bien

[ananas93]

Ah oui je comprend la nuance.
Cependant, si f(x) appartient à [k/2^n,(k+1)/2^n[, fn=k/2^n
Ainsi, f(n+1)=k/2^n ou f(n+1)=(k+1/2)/2^n suivant l'intervalle auquel il appartient non?

Et pour la question 3 je n'arrive toujours pas à comprendre désolé..

[Ben314]

Si f(x) appartient à [k/2^n,(k+1)/2^n[ alors fn(x)=k/2^n
Et f(n+1)(x)=k/2^n ou bien f(n+1)(x)=(k+1/2)/2^n suivant l'intervalle auquel appartient f(x)

Oui, c'est ça (et j'ai écrit une c... que tu as rectifié, c'est pas "...selon que x appartient à ..." mais "selon que f(x) appartient à ...")

Et concernant la question 3), partant de ça :

Si f(x) appartient à [k/2^n,(k+1)/2^n[ alors fn(x)=k/2^n

qu'est-ce que tu en déduit concernant l'écart maximum qu'il peut y avoir entre f(x) et fn(x) ?
(il faudra aussi regarder un peu le cas où f(x)>=n...)

[ananas93]

L'écart maximum est de 1/2/2^n, qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. Donc je peux conclure que limfn=f dans ce cas là.