Limite et intégrale de Lebesgue

[allmess]

Bonjour,
Je n'arrive pas à voir comment proceder pour démontrer l'inégalité suivante. Je pensais utiliser le théorème de convergence dominé, mais ça ne semble finalement pas approprié...

espace mesuré de mesure finie, suite de fonctions mesurables à valeurs réel convergente presque partout vers telle qu'il existe un réel tel que

Montrer que et en déduire que est intégrable.

Merci d'avance :)

[zygomatique]

salut



on développe et on utilise les hypothèses .... il me semble ...

[allmess]

Il y a quand même quelque chose que je ne comprend pas...
Le fait que fn tende vers f p.p entraine t'il que ?

[zygomatique]

quelle est la définition de "pp"

[allmess]

L'ensemble des valeurs pour les quelles fn ne tend pas vers f est des mesure nulle.

[zygomatique]

donc tu as la réponse à ta question ...

[Matt_01]

C'est évidemment pas suffisant de dire ça.
Il faut sûrement utiliser le fait que f(x) = liminf f_k (x) pour x qui n'est pas dans ton ensemble négligeable.
Alors tu peux utiliser le lemme de Fatou il me semble.

[zygomatique]

et en fait c'est peut-être plutôt qu'il faut utiliser ...

[Matt_01]

et en fait c'est peut-être plutôt qu'il faut utiliser ...

Ton égalité est vraie mais je suis curieux de voir comment tu l'utilises.

[Ben314]

En ce qui me concerne, pour la première partie de la question (montrer que l'intégrale de f² est <= C), il me semble c'est une application on ne eut plus directe et immédiate du théorème de convergence dominée.
Bien entendu, on peut (plus ou moins) refaire la preuve du théorème en question en partant par exemple du lemme de Fatou, mais, si on connait le théorème de convergence dominé, vu que ça tient une ligne en l'utilisant...

Et concernant la deuxième partie de la question (en déduire que f est mesurable), ça ne sert absolument à rien de faire (ré)intervenir la suite fn : le seul truc utile (et même indispensable) en plus de l'inégalité "intégrale de f² est <= C", c'est le fait que X est de mesure finie.

P.S. Et il manque (hélas et une fois de plus) un "pour tout entier n" à la fin des hypothèses de l'exercice.

[allmess]

Merci pour vos réponses ! :)

Comme dit, je pensais utiliser le théorème de convergence dominé en disant , étant de mesure finie, est intégrable. On peut alors intervertir limite et intégrale et utiliser la continuité de (à moins que je ne dise n'importe quoi...). Mais mon problème viens : 1° Que je ne suis pas du tout sûr de cet argument de continuité, 2° Que ce théorème ne s'utilise pas avec cette norme.

Pour la deuxième partie de la question, je réutiliserais de mesure finie et don est intégrable, pour dire que est majoré par une fonction intégrable et est donc intégrable.

Merci d'avance, ce chapitre est nouveau pour moi, et votre aide m'es précieuse pour éclaircir mes confusions.

[Ben314]

Je sais pas si c'est que j'ai lu l'énoncé de travers tout à l'heure ou si c'est la sénilité, mais là, on est assez clairement pas dans les condition d'utilisation du théorème de convergence dominé (on a aucune majoration des fonctions fn).
Et c'est Matt_01 qui a raison : le truc qui marche bien, c'est le lemme de Fatou : la limite inférieure des est presque partout égale à et la limite inférieure de est évidement majorée par C.

[Matt_01]

Merci pour vos réponses !

Comme dit, je pensais utiliser le théorème de convergence dominé en disant , étant de mesure finie, est intégrable. On peut alors intervertir limite et intégrale et utiliser la continuité de (à moins que je ne dise n'importe quoi...). Mais mon problème viens : 1° Que je ne suis pas du tout sûr de cet argument de continuité, 2° Que ce théorème ne s'utilise pas avec cette norme.

Pour la deuxième partie de la question, je réutiliserais de mesure finie et don est intégrable, pour dire que est majoré par une fonction intégrable et est donc intégrable.

Merci d'avance, ce chapitre est nouveau pour moi, et votre aide m'es précieuse pour éclaircir mes confusions.

La deuxième partie c'est pas tout simplement Cauchy Schwartz ?
(Une fois n'est pas coutume Ben !)

[Ben314]

Pour le deuxième, il me semble qu'en posant puis en écrivant simplement que


ca permet de conclure.

[Matt_01]

Ca pose un problème d'écrire |f|=|f|*1 et de conclure avec C-S en sachant que µ(X) est fini ?

[Ben314]

Sauf erreur, ça marche aussi...

[allmess]

Parfait, merci à vous !