Equation et complexes

[Silver53]

Bonjour!
le professeur nous a dit que l'équation suivante était longue à résoudre. Je voudrait que vous me donniez des pistes.

[(z²+1)/(z²-1)]^8 = 1

merci

[Quidam]

Bonjour!
le professeur nous a dit que l'équation suivante était longue à résoudre. Je voudrait que vous me donniez des pistes.

[(z²+1)/(z²-1)]^8 = 1

merci

Pose et résouds d'abord l'équation en Z !

[Silver53]

Si je pose alors l'équation admet 8 solutions qui sont les 8 racines huitième de 1 c'est bien ça? Si oui que dois-je ensuite faire?

[Imod]

Pour chacune des huit solutions que tu as trouvé , tu dois trouver les deux solutions de l'équation du 2ème degré que tu obtiens , un travail de titan :mur:

Imod

[Silver53]

Ok donc si j'ai bien compris il y a au maximum 16 solutions, et ce n'est pas très compliqué, c'est surtout long à faire! Je vais commencer ce soir alors :mur:

[abcd22]

Bonsoir,
Comme toutes les solutions que tu trouves pour Z sont de la forme , tu peux commencer à résoudre et ne remplacer par des valeurs que quand c'est nécessaire.

[Silver53]

je ne comprend pas très bien ta méthode abcd22

[abcd22]

On commence par écrire z² = quelque chose qui dépend de si , et on remplace par les 8 valeurs possibles (telles que ) pour calculer les racines, ça évite de faire 8 fois le même calcul.

[Silver53]

Si je pose , pour trouver le module de dois-je remplacer par ? puis ensuite simplifier , et trouver son argument?


abcd22 merci mais je ne comprends pas trop ta méthode et je suis censé le résoudre avec des notions déjà vues en cours ou en TD. Cela ne me dérange pas de faire 8 calculs, ce que je veux, c'est savoir faire cet exo et comprendre afin de pouvoir le refaire. Donc si tu pouvais m'aider avec la méthode de Imod ça serait :++:

[abcd22]

Tu as dit plus haut que les solutions pour Z étaient les 8 racines de 1, qui sont de la forme , maintenant qu'on a Z c'est z qu'on cherche (pour chaque valeur possible de Z), ce n'est pas très dur de trouver z² en fonction de Z, ensuite il faut calculer les racines carrées.

[abcd22]

Je ne te propose pas une méthode différente de celle de lmod mais juste de « factoriser » des calculs pour éviter de les écrire 8 fois.

[Silver53]

Je sais seulement que les 8 solutions sont de la forme avec
(edit: j'avais fais une erreur)

ensuite pour par exemple,
j'en déduis que ?

[abcd22]

Pourquoi tu mets un theta dans tes racines de l'unité ?

[Silver53]

Oula effectivement j'enchaine les erreurs. Je reprends, les 8 racines huitième de 1 sont de la forme : donc par exemple pour k=0 on a . Dois-je en déduire que les deux premières solutions de l'équation de départ vérifient =1 ???
car si oui j'en déduis que :hum:

[Silver53]

Quand je le fais pour Z0, je ne trouve aucune solution. Quand je le fais pour Z1, je trouve et j'en déduis des valeurs invraissemblables du genre quand je cherche les deux racines du trinome.

SVP aidez moi
merci

[Silver53]

Quelqu'un saurait il m'aider svp?

[abcd22]

Pour Z1, on trouve , et il faut réfléchir au signe de pour trouver les 2 racines carrées.
Pour les autres valeurs de k tu fais exactement le même calcul jusqu'à la détermination des racines carrées, c'est pour ça que je suggérais de ne le faire qu'une fois en ne remplaçant pas k par une valeur. Pour k = 0 il n'y a pas de solution.

[abcd22]

Rq : quand on a des racines carrées de complexes à déterminer c'est beaucoup plus simple en écrivant les nombres sous forme exponentielle plutôt que sous forme algébrique.

[Silver53]

Pour Z1, on trouve

Peux tu m'expliquer ta simplification car je ne la retrouve pas. Notament ce p assage

[Silver53]

ok j'ai enfin trouvée la simplification :happy2: