Construction d'un corps à huit éléments

[capitaine nuggets]

Bonsoir,

En cours j'ai vu qu'étant donnés premier et , il était possible construire un corps à éléments : , à partir d'un corps à éléments : . Sauf que je n'ai pas vraiment compris le principe (dans la démo, on utilise le morphisme de Frobenius et le fait que est le corps de décomposition de ). J'ai donc voulu essayer de construire un corps fini sur un cas particulier.

Je cherche donc à construire un corps à éléments : . Comme je n'ai pas bien compris le principe, j'ai essayé une autre méthode : celle avec les polynômes cyclotomiques : on construit grâce à une racine septième de l'unité sur . Pour cela, il faut choisir une racine du setpième polynôme cyclotomique sur . Or puisque est premier . Le problème est que je n'arrive pas à savoir comment choisir ...

Merci d'avance pour votre aide

[Ben314]

Salut,
Dans un premier temps, je sais pas si c'est la peine de parler de polynômes cyclotiomiques ou autres pour comprendre le mécanisme.
Fondamentalement, le principe de construction c'est exactement le même que pour passer de R à C en "ajoutant" un élément i tel que i²=-1.
Par exemple, vérifie que les "nombres" de la forme a+ib avec a et b dans Z/7Z est bien un corps (à 7²=49 éléments) (les règles de calculs sont les règles "usuelles" avec i²=-1).
Par contre les a+ib avec a et b dans Z/5Z, ça marche mal : c'est bien un anneau, mais il n'est pas intègre : (2+i)(2-i)=0 donc ce n'est surement pas un corps et, si tu réfléchie un peu, ça vient du fait que l'équation X²=-1 avait déjà une solution dans Z/5Z (à savoir X=2) et que d'en rajouter une autre, ben à part foutre la merde, ça sert à rien.

Donc une façon "complètement élémentaire" (i.e. avec zéro théorie) de faire "grossir" un corps, c'est de rajouter un élément qui "n'est pas déjà dedans".
Si on part de Z/2Z, comme les équations X²=0 et X²=1 ont déjà des solutions, il faut cherche un peu plus loin :
Par exemple, l'équation X²=X+1 n'a pas de solution donc on peut "ajouter" un élément tel que a²=a+1, c'est à dire considérer les "nombres" de la forme x+ya avec x,y dans Z/2Z.
Pour rester "zéro théorique", je t'inciterais fortement à dresser la liste des éléments du nouvel ensemble puis à écrire les tables d'addition et de multiplication de façon à vérifier "bètement" qu'il s'agit bien d'un corps.
Ce corps K a en fait 4 éléments et, pour obtenir un corps à 8 élément, on peut refaire la même chose : chercher une équation (de degré 2) sans solution dans K (trouve en "pour de vrai" une), puis appeler une "solution virtuelle" de cette équation et enfin considérer l'ensemble K' des x+yb avec x,y dans K : ça va te donner... un corps à 8 éléments.
Vu qu'il y a 8 éléments dans K', c'est un peu plus chiant de dresser les tables d'addition/multiplication, mais ça peut ne pas être con de le faire pour voir un peu comment ça marche avec "zéro théorie".
Sinon, au minimum, je pense que c'est pas mal de chercher, avec le moins de théorie possible, par exemple qui va être l'inverse de l'élément de K' et qui va être l'inverse de ? (essaye de le faire)

Une fois que tout ça tu l'aura fait au niveau "zéro théorique", tu re-regardera ce que tu as fait en cours de bien plus théorique avec des (Z/pZ)[X]/(P(X)) et tu essayera de faire le lien entre les deux et de comprendre réellement de quoi il retourne.
Par exemple, commence par réfléchir à comment obtenir un corps à 8 élément en partant de Z/2Z en "ajoutant" un seul élément et pas en procédant comme ci dessus où on a "ajouté" un (tel que a²=a+1) puis un (tel que ???)
Et évidement, c'est pas con de trouver le fameux en question en utilisant ce que tu as vu en cours, à savoir qu'il faut aller regarder du coté du polynôme de ...

[capitaine nuggets]

Merci Ben314 pour ton intervention. En particulier, l'approche "zéro théorie" permet de concrétiser les choses, c'est cool Je regarde ça !

[Doraki]

Pour un corps à 8 éléments essaye quand même de regarder des polynômes de degré 3 plutôt que de degré 2 mais sinon son approche reste très bien pour construire des corps à 4 ou 16 éléments.

[Ben314]

Ah tient, ouaips, c'est pas con ça : , effectivement ça fait pas tout à fait 8...

Bref, dans le laïus ça dessus, il faut remplacer tout les 8 par des 16 et le corps à 8 élément, on peut pas y arriver "en deux coups".

[capitaine nuggets]

Oui, je me suis rendu compte de cela lorsque j'ai dû choisir P
Du coup, en prenant P=X^3+X+1 irréductible et de degré 3, j'ai que est isomorphe à , où est une racine donnée de dans une clôture algébrique de . Cependant, j'observe quelque chose d'étrange : est isomorphe à qui devrait être isomorphe à , sauf que quand je regarde il n'a pas l'air d'être de dimension , mais de dimension puisque . Où est le problème ?

[Doraki]

ben F2[α] c'est par définition le plus petit sous-anneau de ta cloture algébrique qui contienne F2 et α.
Donc normalement, il devrait contenir α². Donc ton F2[α] = {a + bα}, ça ne peut pas être vrai.

[zygomatique]

salut

ou encore en d'autres termes :

si a est racine de P alors

mais

donc non seulement on rajoute mais aussi ...

[Ben314]

C'est là qu'on voit que c'est très con que je me soit gouré avec mon : quand on a bien compris la construction de C à partir de R, en fait on comprend super bien les extensions quadratiques (i.e. par des polynômes de degré 2), mais il faut un peu plus réfléchir pour ne pas écrire de c... concernant les extensions par des polynômes de degré par exemple 3.
De même, le passage de 3 à 4 contient un "piège" : pour le degré 2 ou 3, il suffisait que le polynôme choisi n'ai pas de racine dans le corps "de base" pour que ça marche bien alors qu'à partir du degré 4, il faut envisager le cas où le polynôme P se factorise en deux polynômes de degré 2 dont aucun des deux n'a de racine (donc P n'a pas de racines) et constater que dans ce cas là, ça déconne.
Ca signifie qu'en fait la condition "P n'a pas de racine dans K", c'est pas la bonne et elle est à remplacer par la condition bien plus compliquée "P est irréductible" dans le cas général (mais c'est super pas con de voir que, pour le d° 2 et 3, c'est pareil)