Salut,
Dans un premier temps, je sais pas si c'est la peine de parler de polynômes cyclotiomiques ou autres pour comprendre le mécanisme.
Fondamentalement, le principe de construction c'est exactement le même que pour passer de R à C en "ajoutant" un élément i tel que i²=-1.
Par exemple, vérifie que les "nombres" de la forme a+ib avec a et b dans Z/7Z est bien un corps (à 7²=49 éléments) (les règles de calculs sont les règles "usuelles" avec i²=-1).
Par contre les a+ib avec a et b dans Z/5Z, ça marche mal : c'est bien un anneau, mais il n'est pas intègre : (2+i)(2-i)=0 donc ce n'est surement pas un corps et, si tu réfléchie un peu, ça vient du fait que l'équation X²=-1 avait déjà une solution dans Z/5Z (à savoir X=2) et que d'en rajouter une autre, ben à part foutre la merde, ça sert à rien.
Donc une façon "complètement élémentaire" (i.e. avec zéro théorie) de faire "grossir" un corps, c'est de rajouter un élément qui "n'est pas déjà dedans".
Si on part de Z/2Z, comme les équations X²=0 et X²=1 ont déjà des solutions, il faut cherche un peu plus loin :
Par exemple, l'équation X²=X+1 n'a pas de solution donc on peut "ajouter" un élément
tel que a²=a+1, c'est à dire considérer les "nombres" de la forme x+ya avec x,y dans Z/2Z.
Pour rester "zéro théorique", je
t'inciterais fortement à dresser la liste des éléments du nouvel ensemble puis à écrire les tables d'addition et de multiplication de façon à vérifier "bètement" qu'il s'agit bien d'un corps.
Ce corps K a en fait 4 éléments et, pour obtenir un corps à 8 élément, on peut refaire la même chose : chercher une équation (de degré 2) sans solution dans K (
trouve en "pour de vrai" une), puis appeler
une "solution virtuelle" de cette équation et enfin considérer l'ensemble K' des x+yb avec x,y dans K : ça va te donner... un corps à 8 éléments.
Vu qu'il y a 8 éléments dans K', c'est un peu plus chiant de dresser les tables d'addition/multiplication, mais ça peut ne pas être con de le faire pour voir un peu comment ça marche avec "zéro théorie".
Sinon, au minimum, je pense que c'est pas mal de chercher, avec le moins de théorie possible, par exemple qui va être l'inverse de l'élément
de K' et qui va être l'inverse de
? (
essaye de le faire)
Une fois que tout ça tu l'aura fait au niveau "zéro théorique", tu re-regardera ce que tu as fait en cours de bien plus théorique avec des (Z/pZ)[X]/(P(X)) et tu essayera de faire le lien entre les deux et de
comprendre réellement de quoi il retourne.
Par exemple, commence par réfléchir à comment obtenir un corps à 8 élément en partant de Z/2Z en "ajoutant" un seul élément
et pas en procédant comme ci dessus où on a "ajouté" un
(tel que a²=a+1) puis un
(tel que ???)
Et évidement, c'est pas con de trouver le fameux
en question en utilisant ce que tu as vu en cours, à savoir qu'il faut aller regarder du coté du polynôme
de
...