Structures algébriques Problème correction

[Abilys38]

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Bonjour,

J'ai vraiment du mal à comprendre cette correction. En effet, a aucun moment l'énoncé ne dit que G est un groupe commutatif. Et, la correction prête à croire le contraire. Pouvez vous m'aider?

Merci!!

[Ben314]

Salut,

Et, la correction prête à croire le contraire.

Ah bon ????
Et à quel endroit as-tu l'impression que la correction utilise la commutativité du groupe ?
Parce que, par exemple, le fait que , ben c'est la définition même du fait que est un morphisme (c'est souvent pas con d'utiliser les hypothèses données pour montrer un résultat...)

[Abilys38]

Bonjour Ben,

Pour ça, évidemment aucun problème.

Mais pourquoi
Je ne pense pas que ça soit triviale, non? Je n'ai pas réussi à le démontrer. (Je ne dis pas que la correction est fausse, je cherche juste à comprendre cette égalité)

[Abilys38]

Ou encore, pourquoi:

[Ben314]

Avant le il y a écrit puis.
Et ça se déduit trivialement de l'égalité précédente en multipliant à gauche par .

[Ben314]

Ou encore, pourquoi:

Partant de , tu multiplie à gauche par et à droite par et tu utilise le fait que

[Abilys38]

Donc:


C'est ça?
Merci pour l'aide !!

[Abilys38]

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Bonjour,
Désolé mais je ne comprend pas non plus la correction de celui là

Je comprend pas pourquoi

Merci beaucoup

[Ben314]

(re)salut.
Déjà, si tu veut mon avis, si tu veut un tant soit peu progresser, ben tu ferais mieux de chercher par toi même les solutions des exos (en en prenant éventuellement des plus faciles si tu y arrive pas) que de regarder les corrections. Ca n'a quasiment aucun intérêt : les maths, c'est comme le vélo (et tant d'autres choses...) ça s'apprend pas en regardant les autres pratiquer mais en pratiquant soit même, et, si on y arrive pas, ben faut prendre plus simple.

Sinon, dans un groupe absolument quelconque G (fini ou pas), si on fixe un élément , l'application est trivialement une bijection (de réciproque ) ce qui signifie très exactement que, lorsque "décrit" G, "décrit" lui aussi G.

[Abilys38]

Bonjour,
Merci pour l’information, j’ai compris l’idée.
Je regarde très peu les corrections ou démonstrations et essaie toujours de les trouver par moi-même, mais, il y a toujours un ou deux exercices ou je bloque malgré beaucoup de réfléxion. Celui là est de 2eme année et je pensais qu’il me manquait peut être une propriété …
Merci encore et bonne journée

[Abilys38]

Ben,
Y a t-il un petit passage de cours sur internet concernant ton dernier message?
J'aimerais y voir un peu + (bien + en fait) clair.

[Ben314]

Ben le cours correspondant, ça fait un moment que tu l'a vu : c'est simplement celui sur les bijections et en plus, c'est même pas un quelconque théorème, mais uniquement la compréhension de ce que dit la définition (d'une bijection).

Si ton groupe c'est et que tu fait un tableau à deux ligne où, sur la première tu écrit et sur celle d'en dessous tu écrit les résultats des produits (qui sont évidement des vu que tout les éléments de G sont de cette forme).
Alors, le fait que l'application est bijective, ben ça te dit très précisément que la deuxième ligne, elle contient elle aussi , mais dans un ordre (éventuellement) différent de celui de la première ligne.

Par exemple, si n=4, tu risque d'avoir un truc du style ; ; et .
Dans ce cas, tu as et c'est bien la même chose que .

Bref, je vois franchement pas ce qu'il y a à "expliquer" : le truc découle immédiatement de la définition d'une bijection, et du fait que l'addition dans C est associative et commutative, c'est à dire qu'une somme, on peut la faire dans l'ordre qu'on veut.

[Abilys38]

En répondant j'ai compris ce qui était flou avant!
Merci pour ta réponse !!

[Abilys38]

C’est donc l’ensemble de départ qui est le même dans les deux cas.
Alors, que l'application soit bijective ou non, la somme des ensembles d’arrivé sera la même,
N’est ce pas ?

Edit: Ma question n'a pas de sens. Quand tu parles de bijection, ça n'a rien à voir avec , je me suis emmêlé les pinceaux. C'est juste pour s'assurer que x et ax ont les mêmes éléments, c'est à dire que l'ensemble de départ est le même pour la somme de tous les et la somme de tous les

Cette fois tout est clair je crois

[Ben314]

C'est exactement ça.
Et si c'est pas encore super clair, je pourrait rajouter que, la "différence" entre et , c'est exactement la même qu'entre par exemple et .

[Abilys38]

Ok parfait merci