Des décimaux aux irrationnels

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beagle
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 16 Nov 2016, 21:14

Perso c'est ce truc que je ne comprends pas:
"Ce que je tente de démontrer, c'est qu'on ne peut pas reproduire cette construction en se contentant d'écrire tous les 3 à la queue leu leu."

Si on prend un carré, on colorie la moitié, puis la moitié du reste puis la moitié du reste, puis la moitié...
à l'infini
intuitivement avec une grosse loupe suffit d'agrandir là où on est, on va voir un rectangle puis un carré puis un rectangle puis un carré, intuitvement il n' ya aucune raison de penser que ce qui reste sera comblé = on voit toujours un trou, et il suffit de zoomer le trou ressemble terriblement aux dessins précédents.
bref, je dirais alors comme nodgim: on ne va pas combler le trou en se contentant de faire cette opération à répétition d'enlever la moitié.Donc si on a un carré de 1cmx1cm, ben jamais cela ne devrait donner le 1 cm² entier.
Et pourtant c'est la même somme suite infinie que la flèche, dont on sait qu'elle arrive au but , elle atteint bien le 1.

Donc si 1/3 n'est pas un décimal, cela semble acquis qs doraki,, 1/3 en quoi ne pourrait-il pas ètre atteint = réalisé en somme d'une suite infinie des décimales de 3.En quoi irions nous vers 1/3 sans jamais l'atteindre?
écrire tous les 3 à la queue leu leu pourquoi cela ne fait-il pas ton 1/3 nodgim?

Mais déjà, est-ce cela l'interrogation de nodgim ?
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Ben314
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Ben314 » 16 Nov 2016, 21:46

Concernant la surface coloriée du carré, là, effectivement, la limite de la surface coloriée (une fois qu'on a définie proprement ce qu'est une limite), elle tend effectivement vers la surface du carré.
Mais pourtant, avec un truc qui (quand on y connait rien) ressemble pas mal à cette histoire de coloriage, à savoir l'approximation de la la longueur de la diagonale d'un carré (<-lien), ben là, bien que les deux courbes soient de plus en plus proches l'une de l'autre, ben ça marche pas.
Et évidement (et de nouveau...) pour comprendre pourquoi ça marche dans le cas de 0.3333... qui vaut bien 1/3 et du truc colorié qui "à la fin" donne le carré tout entier alors que ça marche pas pour la "diagonale approximée" qui, "à la fin" ne donne pas la diagonale (en tout cas, ça donne pas la bonne longueur), il faut quoi ?
Ben il faut une définition carré de ce qu'est une limite puis une preuve carrée que ce qu'on affirme, c'est vrai (ou pas...)
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 16 Nov 2016, 22:07

"Ben il faut une définition carré de ce qu'est une limite puis une preuve carrée que ce qu'on affirme, c'est vrai (ou pas...)"
certainement préférable en effet.
Maintenant quand tu sais que dans les problèmes infinis ton intuition peut te ramener à des trucs comme les paradoxes de Zénon, sous une autre forme, ben tu peux ètre intuitif et ne pas croire aux résultats de ton intuition.T'as le droit de te dire je ne suis pas en train de me faire avoir comme dans Zénon.et là soit tu sais faire mathématiquement, soit t'écoute Ben314 pour moi.

La diago du carré j'avais déjà planché dessus il ya quelques années mais faudrait que je me reconcentre pour voir ce que j'avais "consolidé " sur ce truc.

et si colorier du 1/2 puis du 1/2 du reste puis du 1/2 du reste à l'infini colorie le carré de 1x1,
on doit ben faire la même chose avec un autre feutre , autre couleur, je colorie 9/10 puis 9/10 du reste puis 9/10 du reste, etc ..., non?
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 17 Nov 2016, 10:29

J'ai posé la question de savoir si la concaténation, en un seul nombre, de tous les 3 des décimaux qui ne comportent que des 3 pouvait aboutir au nombre 1/3, et la réponse est, à mon sens, non.
Les 3 qu'on prend dans les décimaux et qu'on met à la queue leu leu forme le nombre 0,3 33 333 3333 33333......Or la suite des actions de sommation est infinie. En effet, pour prétendre arriver exactement à 1/3, il faut supposer une fin à cette infinie d'actions de sommation. Or cette dernière action ne peut pas être obenue par un décimal, on en trouverait un autre plus grand pour compléter. Vu autrement, si on devait imaginer une dernière action, ce serait l'ajout de 33333....à l'infini, de sorte qu'il n'existe rien de plus grand, ce qui est contradictoire avec la propriété du nombre décimal. On ne peut donc pas terminer la suite des 3 de cette façon pour obtenir exactement 1/3.

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 17 Nov 2016, 11:11

Il me semble que l'intuition est mise en défaut lorsque l'on regarde la construction se faire alors qu'un nombre n'est pas "en train de se constituer".Il est.C'est ce que j'avais déjà défini comme un problème temporel.Tous les 9 après la virgule sont là au moment même où j'écrits 0,99... , ils sont là au moment où je lis cette écriture.idem pour les 3 du 0,3333...

Il ya quelques temps on avait demandé 5+3 pour vous c'est quoi, un nombre ou bien une opération.
Je faisais partie de ceux qui disaient le 5+3 pour moi est une écriture du 8.
d'abord parce que je suis plutôt ensembliste donc 5+3 c'est pour moi un ensemble, l'ensemble du 5 ET du 3.
ensuite pour avoir bossé comment nait la cardinalité chez l'enfant, ben oui le 5 et 3 c'est un élément qui permet la construction de la cardinalité.Le 8 n'est PAS QUE le successeur du 7, ce n'est pas que le 7+1.
Le 8 c'est les cinq doigts d'une main, et je prends encore trois doigts de l'autre main.Ce qui fait aussi que le 8 c'est mes deux mains où il manque duex doigts.Le 8 en tant que 10-2 est un élement de la construction de la cardinalité qui permet ensuite des opérations d'addition et soustraction par regroupement.Bref...
Tout ça pour dire que 0,9999...
ce n'est pas l'addition A FAIRE de 0,9 + 0,09+0,009+...
c'est l'addition faite, c'est la réunion de tous les 0,9 Et 0,09 ET 0,009 ...

De sorte que j'ai beau jeu de dire lorsque je colorie la moitié d'un carré puis la moitié restant puis la moitié encore restante, j'aibeau jeu de dire il restera toujours un trou pour lequel je dois répéter l'opération.Ce sentiment de presque mais il ya un trou.Idem j'ai beau jeu de dire en positionnant mes décimales de 9 je me rapproche de 1 mais je n'y suis jamais parce que je n'ai pas fini de mettre tous mes 9.OUI, parce que je n'ai pas fini.Parce que nous sommes en construction de ...Or l'écriture 0,999... n'est pas en construction de , elle donne un nom, une représentation , à un nombre.C'est pas une fabrication, c'est de l'existant.
Et là on pourrait dire que la vision peu élaborée de notion de limites pourrait géner un élève également.
déjà une limite c'est un truc que l'on ne dépasse pas, c'est pas forcément un truc que l'on atteint.Et quand x tend vers l'infini, ben oui c'est idem, on dit au type quand on se déplace là-bas quand on y va.Mais le nombre représenté par son symbole, c'est la limite elle -même tout là-bas, c'est pas le truc vers lequel on va...
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 17 Nov 2016, 11:18

Alors comment renverser cela.Ben en partant du fait que l'infini est déjà réalisé, parce que construire l'infini avec des bouts de finis, ce n'est jamais fini ET POUR CAUSE...
Bref il faut raisonner dans l'autre sens:
prenons mon carré de 1x1 que je colorie avec des moitiés restantes.
a l'envers cela donne ceci:
soit un endroit quelconque du carré, ben à quel moment sera-t-il recouvert?
Ce point peut-il ètre protégé d'ètre recouvert un jour ?
Ben non.
donc lorsque l'action répétée de coloriage est terminée, à l'infini, je suis incapble de trouver un endroit non colorié.Donc plutôt que de dire il reste des zones à colorier parce qu'on est en train de construire l'infini avec des bouts finis.prenos le truc par la fin.c'est fait tout a été colorié.il est où le truc que j'ai pas colorié.On pourrait le mettre où?
Ben nulle part.
Idem dans le 0,999..., c'est où que je peux placer quelque chose entre 1 et 0,999...
nulle part.
alors que si je suis en train de le construire que je n'ai pas fini, ben oui on voit un écart qui se réduit mais il y aura toujours un écart.Tant que ce ne sera pas fini.Ben justement c'est normal , on parle ici d'infini.Normal de ne pas y ètre tant qu'on n'a pas fini.
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 17 Nov 2016, 13:50

Attention Beagle. Y a des vacheries bien vicieuses avec l'infini.
Si tu colories le tiers central d'un rectangle allongé, puis le 1/3 central des rectangles restants, et ainsi de suite à l'infini, tu auras tout colorié, mais il te restera une infinité de points non coloriés. Donc faire attention aux points.

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 17 Nov 2016, 14:27

"Attention Beagle. Y a des vacheries bien vicieuses avec l'infini."

Je veux bien le croire.
Maintenant s'il y a des définitions mathématiques précises et des raisonnements mathématiques, comme le pratique Ben314, cela n'empèche pas d'essayer de comprendre, de percevoir,
à quels endroits l'intuition se fait berner, pourquoi,
et par quoi remplacer,
je n'en suis que là.
je sais que je me suis déjà fait avoir, j'essaye de comprendre où et pourquoi.

En particulier une addition infinie , c'est quoi?Déjà ça, faut faire gaffe à ce que l'on fait lorsqu'on le déduit de notre expérience d'additions multiples ...
M'enfin!
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Pseuda » 19 Nov 2016, 12:42

Bonjour,

Cela a sûrement déjà été dit, mais redisons-le encore une fois pour en être convaincus :

Si on pose x=0,99999..... avec un 9 qui ne s'arrête jamais, on a : 10x=9,9999..... = 9+x, donc 9x=9, donc x=1.

C'est imparable, sauf si on considère que ce nombre : 0,9999.... n'existe pas, et donc que les limites n'existent pas de cette façon (????).

Ou le problème proviendrait du fait qu'on confond malencontreusement une limite et un nombre qui pré-existe, et qu'il faudrait distinguer 2 objets mathématiques différents (bravo la complication).

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Ben314 » 19 Nov 2016, 17:06

beagle a écrit:à quels endroits l'intuition se fait berner, pourquoi,
et par quoi remplacer,

Justement, tout ce que je raconte depuis un bon moment, c'est que l'intuition se fait quasi-systématiquement "berner" lorsque l'on parle d'un truc infini.
Et le "pourquoi", ben c'est simplement le fait que l'infini, dans le monde "concret", ça n'existe pas donc en ce qui concerne les "intuitions" qu'on pourrait avoir dessus, c'est "macach".
Et on peut rajouter, toujours concernant le "pourquoi", que ça provient du fait que scolairement parlant, on se gène pas pour parler très tôt de trucs infinis (l'ensemble des entiers) comme si c'était du "banal" ce qui est très très très clairement faux. Avant Cantor, et depuis les grecs anciens, quasiment personne ne disait par exemple que l'ensemble des entiers était infini, on disait uniquement qu'on peut toujours en trouver un plus grand qu'un autre fixé d'avance (= infini potentiel), mais sans jamais s'autoriser à considérer l'ensemble de TOUT les entiers C'est plus ou moins la même chose qu'un truc qu'on sait parfaitement aujourd'hui, c'est à dire qu'on ne peut pas considérer l'ensemble de TOUT les ensembles vu que le "ramassi" formé de tout les ensembles, ben c'est pas un ensemble.
Bref, ce n'est pas parce que Cantor à montré que l'on pouvait considérer TOUT les entiers comme étant un objet (infini) que l'on peut manipuler sans obtenir de contradiction que ça signifie qu'on peut manipuler un tel objet "naïvement" (par ce que, naïvement parlant, je vois pas trop pourquoi on ne pourrait pas de même manipuler l'ensemble de tout les ensembles)

Et je le redit pour la dernière fois : LE fond du problème, c'est que l'enseignement actuel des maths. donne l'impression (considérablement fausse) qu'on peut manipuler "intuitivemant" des trucs infinis, par exemple un nombre avec une infinité de chiffres après la virgule. Un tel objet, très très très clairement, ça sort du "sens intuitif".
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 20 Nov 2016, 09:34

Vrai, Ben, je me suis d'ailleurs bien planté sur ce sujet, à vouloir trop réfléchir....
D'ailleurs, je suis assez chagriné, avec du recul, de l'expression apprise au lycée: "x tend vers l'infini". Si on y réfléchit un peu, "tendre vers l'infini" laisse supposer un rapprochement vers l'infini, or il n'en est rien. Même après un long voyage (tendre laissant penser à un mouvement) à droite de l'axe des x, on ne se rapproche pas d'un yota de l'infini. il n'existe pas de grand nombre vis à vis de l'infini, il n'existe de grand nombre que vis à vis de sa position par rapport au zéro. L'expression "x s'éloigne infiniment de zéro " m'aurait semblé plus approprié.

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 21 Nov 2016, 11:01

ben ce qui me gène dans les deux derniers messages, celui de Ben314 et celui de nodgim,
c'est que de ne pas pouvoir considérer l'infini comme un ensemble, de dire on n'en a jamais fini,
ben alors comment se fait-il que la flèche atteint son but.Si on n'avait pas l'ensemble de fini au final, à l'arrivée, pour y arriver, à lire nodgim on se dit que jamais on n'aura fini.
Or avec une infinité de 9 après la virgule, nous ne sommes pas en train de faire l'addition ad vitam éternam pour arriver au 1, d'emblée et à la seule écriture nous sommes le 1.pas un en devenir qui avec nodgim n'est pas humainement ateignable.Si le 0,999... est le 1 c'est bien que l'ensemble de toutes les décimales de 9 sont réunies dès l'écriture.Elles ne sont pas en construction infinie.De sorte que y compris la mauvaise compréhension de la limite avec x tend vers donne une mauvaise intuition, alors que l'intuition doit regarder LA limite, et non pas sa fabrication de tendre vers...

Perso je crois que si l'intuition se gourre, cela apprend des choses.Et que de nouvelles bases intuitives doivent se metre en place qui rendent comptent de ce que les maths bien définies jouent, fabriquent, permettent de déduire des choses.
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Ben314 » 21 Nov 2016, 11:20

beagle a écrit:Or avec une infinité de 9 après la virgule...
Moi, ce que je comprend pas, c'est comment tu peut faire pour ne serait ce qu'imaginer ce que c'est qu'une infinité de 9 après la virgule.
Est-ce que tu es capable d'imaginer le temps qu'il te faudrait pour les écrire ces fameux 9 ?
Est-ce que tu es capable d'imaginer la quantité de papier qu'il te faudrait ?
Est-ce que tu es capable d'imaginer le nombre de planètes qu'il faudrait pour produire les arbres nécessaire à ce papier ?

Personnellement, j'en suis complètement incapable et donc je vois vraiment pas comment je pourrait avoir la moindre intuition concernant un truc fondamentalement et intrinsèquement inimaginable.
La seule et unique chose que je me sente capable de faire, c'est de vérifier, une fois qu'on m'a donné une définition "carrée" de ce qu'est une limite, que la suite Un=0.999..9 (avec n '9' après la virgule) a bien comme limite 1.
Et si les grec (et a peu prés les matheux jusqu'à assez récemment) considéraient qu'il y avait un sacré paradoxe concernant la fameuse flèche qui n'atteint jamais sa cible, c'est justement parce que leur bon sens leur dictait qu'il n'y avait pas besoin d'imaginer... des trucs inimaginables pour faire arriver la flèche à destination.
Modifié en dernier par Ben314 le 21 Nov 2016, 15:08, modifié 1 fois.
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 21 Nov 2016, 12:31

"Moi, ce que je comprend pas, c'est comment tu peut faire pour ne serait ce qu'imaginer ce que c'est qu'une infinité de 9 après la virgule.
Est-ce que tu es capable d'imaginer le temps qu'il te faudrait pour les écrire ces fameux 9 ?
Est-ce que tu es capable d'imaginer la quantité de papier qu'il te faudrait ?
Est-ce que tu es capable d'imaginer le nombre de planètes qu'il faudrait pour produire les arbres nécessaire à ce papier ?"

Ben ce qui est dingue c'est que justement je ne veux pas avoir à les écrire, c'est bien pour cela que je prends l'ensemble des décimales qui existent dès leur écriture.Donc c'est très justement pour ne pas avoir à faire le chemin de les écrire une par une, je dis l'écriture telle que 0,99... dit qu'elles sont toutes là.

Et cela a deux avantages, se situer d'emblée sur le 1 et non pas y aller,
chose que tu me reproches ,alors que c'est bien le voyage proposé lorsqu'on passe par du x tend vers, c'est bien ce truc qui prend le temps d'y aller.
Perso que le segment, que la distance de départ à l'arrivée de la flèche, ben ces trucs là sont des ensembles finis composés d'une infinité d'éléments,...

Et intuitvement de dire que c'est l'ensemble des décimales avec du 9,
cela permet intuitivement de dire, jamais je ne peux trouver un endroit pour intercaller quoique ce soit entre le 0,99... et le 1.
A ce stade pour moi deux hypothèses relevant d'il n'y a rien entre les deux:
il n'y a rien entre les deux parce que c'est la même chose.
il n' ya rien entre les deux car ce sont deux "points" collés.Or les deux points collés, comme l'existence d'un successeur dans les réels, cela ne marche pas, mon intuition ne peut plus rien faire avec ça de cohérent
zen 0,99 is 1.

c'est bien parce que l'intuition fait dire des choses problématiques sur les paradoxes de Zénon qu'il faut se construire un autre support.Toi tu le trouves dans les définitions mathématiques.Je n'ai pas ce niveau, donc j'essaye de donner cohérence par l'intuition autre, cohérence avec ce que tu dis mathématiquement.
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 21 Nov 2016, 12:52

Mince alors, Beagle semble tenir le même raisonnement que moi....
C'est vrai qu'à partir du moment où on dit que 1 = 0,999..., ou 1/3 = 0,333...., difficile de ne pas penser qu'un réel vaut exactement le nombre décimal qui lui ressemble le plus.

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 21 Nov 2016, 12:57

salut nodgim,
"qu'un réel vaut exactement le nombre décimal qui lui ressemble le plus."
je ne comprends pas bien ce que tu veux dire par là.
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 21 Nov 2016, 13:44

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Ben314 » 21 Nov 2016, 15:15

beagle a écrit: 0,99... dit qu'elles sont toutes là.
Je le redit (pour la dixième fois), mais avec ce type de discours, je vois pas ce qui m'empêcherais de dire la même chose en ce qui concerne les différents ensembles qui existent en math., "je les prend tous". Sauf que là, on sait parfaitement bien que, de s'autoriser à "les prendre tous" ben ça conduit à une belle contradiction, à savoir le paradoxe de Russell.

Comment tu fait pour savoir que, dans ton cas, d'accepter de les "prendre tous" (les 9), ça conduit pas tout autant à un truc totalement contradictoire ?
Et si c'est pas contradictoire, comment tu fait pour savoir que le "truc" que ça désigne, c'est bien un nombre réel (donc que c'est effectivement comparable avec le réel 1) ?
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 21 Nov 2016, 15:28

Je ne comprends pas bien,
le 0,99... je croyais que cela disait qu'on mettait du 9 jusqu'à plus soif, et maintenant cela n'est même pas dans la définition du 0,99...
Bon admettons, on a du bol parce que on joue avec l'infini deIN, donc les décimales sont dénombrables,
la première, la deuxième, la troisième, elles sont numérotables après la virgule de zéro.

Donc soit la première décimale qui n'est pas 9, puisque je n'ai pas l'ensemble des décimales ai-je le droit de dire qu'il m'en manque?Alors cette décimale pas 9 est k qui vaut 0à 8, et alors le nombre avec toutes les premières décimales à 9 et du k+1 à la place du k, donne un nombre entre [ 0,99... avec une décimale pas 9] et le 1.
Je comprends vraiment pas à quoi on joue là.
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 21 Nov 2016, 15:34

Soit un nombre somme d'addition 3+5+7
ben soit je dis le nombre c'est la somme de 3 et 5 et 7
soit je dis c'est un ensemble qui contient 3 et 5 et 7

lorsqu'on définit le 0,99... comme la somme à l'infini d'une série ou d'une suite,
je ne vois pas le problème à dire que ce nombre c'est la somme de ...
ou c'est cet élément et celui là et celui-ci.

Après ce que comprend un élèv e base de somme de 1 à l'infini de machin truc,
que comprent-il de l'infini qu'il utilise dans sa formule?????
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