Décomposition de polynômes dans C[x]

[Donsalustre69]

Bonsoir,

Je suis en pleine remise à niveau de maths pour poursuivre des études d'ingénieur 3 ans après avoir quitté l'école et je révise actuellement la décomposition de polynômes et je bloque sur celui-ci:



- 2 solution évidentes: x = 1 et x = -1 dans R[x]

- Ordre de multiplicité de la racine:




Donc

Pour trouver les coefficients, je fais la division euclidienne de P(x) par (x+1)(x-1) = x²-1

Je trouve comme quotient Q(x) = , reste 0

Maintenant je suis censé faire quoi avec ça ? Est ce que je dois recommencer l'opération autant de fois que nécessaire pour décomposer ou y a t il une méthode plus rapide ?

Merci de votre aide.

[XENSECP]

Salut,

Plus simplement tu cherches les racines réelles de l'unité.

avec

Du coup tu as bien trouvé k=0 et k=6.

Pas sûr qu'il y ait d'autres solutions réelles....


Sinon dans l'absolu avec ton Q(x), tu pouvais utiliser X=x² et trouver finalement X=-1 soit i et -i (soit k=3 et k=9). Ainsi tu avais 4 racines et tu pouvais encore avancer...

[Ben314]

Salut,
Je sais pas ce que tu as vu, mais si tu sait le faire, c'est le genre d'exo. où il faut quasi obligatoirement commencer par la décomposition dans C[X] pour en déduire ensuite la décomposition dans R[X].
- C'est quoi les 12 racines complexes de (C est algébriquement clos, donc il y en a forcément 12 comptées avec leur ordre de multiplicité)
- C'est quoi la décomposition de P(X) dans ?
- Et dans ?

Sinon, ça :

Donc

je sais pas d'où tu le sort, mais c'est complètement faux.

[Izio38]

Salut !

Je pense que chercher du côté du binôme de Newton pourrait t'aider

[Ben314]

Salut !
Je pense que chercher du côté du binôme de Newton pourrait t'aider

Hummmm.
J'ai de gros doutes.
Tu peut préciser où est-ce que tu compte utiliser la formule du binôme de Newton dans le contexte de l'exo. ?

[chan79]

- 2 solution évidentes: x = 1 et x = -1 dans R[x]
[/tex]

Pour trouver les coefficients, je fais la division euclidienne de P(x) par (x+1)(x-1) = x²-1
.

salut
Le mieux est de passer par les complexes.

Si tu veux décomposer dans , tu multiplies certains facteurs entre eux.(dessine le cercle trigonométrique avec les racines douzième de 1 pour y voir plus clair).
Sinon, on peut y arriver avec les identités remarquables

à noter que est divisible par puisqu'il s'annule pour et
Pourquoi ne pas le faire des deux façons ?

[Kolis]

Bonjour !

: sont racines
: même démarche
: sont racines et on les groupe par conjugaison...
Finalement :

[chan79]

salut
oui, on peut encore factoriser

[Donsalustre69]

Merci a tous pour vos réponses,

Je constate qu'il existe plein de méthodes c'est plutôt pas mal ! J'ai essayé de calquer la méthode de résolution sur un exercice corrigé qui consistait à décomposer.



Racine évidente:

Donc:


On détermine les coeff a, b et c par division euclidienne de P par

On trouve:

Ensuite on résoud dans C[x]pour trouver les deux solutions complexes afin de décomposer ce dernier polynôme.

[zygomatique]

salut



et on cherche les racine cubique de l'unité ...

[Donsalustre69]

Je ne connaissais pas cette définition, et le truc c'est qu'elle apparaît nulle part dans mes cours



J'ai cherché sur le net, polynômes cyclotomique. Je n'ai absolument jamais entendu parlé de ça... Je la garde sous le coude mais à mon avis le prof ne s'attend peut être pas à cette méthode.

Merci !

[Carpate]

Je ne connaissais pas cette définition, et le truc c'est qu'elle apparaît nulle part dans mes cours

Ce n'est pas une définition mais une équivalence qui s'établit en utilisant les propriéte bien connues des nombres complexes :
1 est sur l'axe des réels donc son argument est 0 modulo , sa partie réelle est 1 et son module : 1

si ,
Inversement si ,