Fourier et Steinhaus

[Lostounet]

Bonsoir,

J'ai plusieurs questions en analyse fonctionnelle. Je serais reconnaissant à tout celui ou celle qui pourrait répondre à une des trois questions suivantes...

Question ontologique: On peut montrer que l'ensemble des fonctions dont la série de Fourier diverge en un point est dense dans l'espace des fonctions continues (Banach-Steinhaus). J'ai alors été chercher un exemple dans un livre d'une série de Fourier divergente en x=0 (pour une fonction continue)... et j'ai constaté que l'exemple donné était vraiment "biscornu/tiré par les cheveux"... ceci est un peu contradictoire... vu le caractère dense des dites fonctions: pourquoi tant de peine à en expliciter des simples vu leur caractère dense ? (ou alors j'ai pas trop compris)

[Ben314]

Pour une raison assez simple, c'est que le fait qu'une partie D d'un espace topologique X soit dense, ça peut se voir intuitivement parlant comme le fait que D est "un peu gros", mais que si ton espace X est non seulement un espace topologique, mais aussi un espace probabilisé (i.e. muni d'une mesure de masse totale =1) et que l'ensemble D est mesurable, alors il est tout à fait possible que la mesure de D soit nulle, c'est à dire que, au sens de la mesure (i.e. des probas) D soit "ridiculement petit" et donc qu'en prenant des élément "au pif", tu en trouvera jamais aucun que soit dans D.
Exemple : l'ensemble des décimaux de [0,1] est dense, mais en terme de mesure (de Lebesgue), il mesure 0, c'est à dire que, si on tire un réel au pif dans [0,1], la proba que ce soit un décimal est nulle.

Autre exemple (pour voir que ce n'est même pas qu'un problème de "mesure") : Les nombre transcendant de [0,1] c'est dense dans [0,1] et c'est même de mesure 1, alors que d'en exhiber ne serait-ce qu'un seul, ben c'est pas évident du tout : Peut tu me donner un exemple de nombre transcendent de [0,1] dont il est facile de montrer qu'il est transcendant ?

Bref, même dans R, lorsque l'on montre grâce à des argument de cardinalité ou de densité ou de mesure que certains objets existent, ben c'est pas forcément facile ensuite d'exhiber ne serait-ce qu'un seul de ces objets et il y a des tas d'exemple classique où l'existence par des méthodes indirectes est très facile à établir alors que la construction "effective" d'un tel objet est monstrueusement difficile.

[Lostounet]

Salut Ben,

J'ai lu deux fois ton message aujourd'hui et j'ai compris. Tu avances deux arguments: un problème de mesure et un autre lié à la nature de la preuve (existence mais pas construction).
Sans doute un des obstacles de l'intuition qu'il faudra que je surmonte! Pour moi dire qu'il y a "un gros paquet" ça voulait dire jusqu'à présent "on peut en expliciter très facilement plusieurs".

D'ailleurs en parlant de nombres transcendants comme pi ou e, on ne peut pas savoir facilement si par exemple "e/4" est transcendant. Si P(e/4)=0 alors on peut se ramener à un polynôme annulant e.
Par contre oui tout en sachant que la transcendance de e est délicate à obtenir (je ne sais pas le redémontrer à l'improviste).

[Ben314]

Je t'invente rapidos un autre exemple :
On dit qu'un réel est "bizarre" lorsqu'il n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients dans : les "non bizarre" sont dénombrable donc, que ce soit au sens de la mesure, ou au sens du cardinal ou au sens topologique (densité) "presque tout" les réels de [0,1] sont des "bizarres".
Donne moi en ne serait-ce qu'un seul explicitement.
Là, tu vas avoir du mal à commencer par du "on sait très bien que ... est bizarre donc ...." et à mon avis, d'en exhiber explicitement un, ça va être plus difficile que d'exhiber une fonction dont la série de Fourrier diverge en 0 (alors que l'ensemble en question est non seulement dense, mais qu'il est en plus de mesure égale à 1, c'est à dire que si tu choisi un réel de [0,1] au pif, c'est presque-surement un "bizarre")

[Lostounet]

Joli...
Le problème aussi c'est que je ne sais pas tester si un nombre au pif que je choisis est bizarre ou pas...

Du style e^e/10 ... ou fabriquer autre chose... donc pour le " tu auras du mal à commencer par dire on sait que..." moi je te réponds: j'ai du mal à commencer tout court

Mais je me doute bien que le problème dépasse mon niveau actuel... déjà que je sache manipuler de l'algèbre de base

[Ben314]

Je pense pas que ce soit un problème de niveau, à part éventuellement pour te dire que plus ton niveau augmentera, ben plus tu t'habituera au fait que, même si un ensemble est "super archi gros" (*) ben ça veut pas dire qu'on peut facilement d'exhiber ne serait ce qu'un seul élément qui est dedans.

(*) Sachant que l'exemple ci dessus, c'est parmi "les pires" qu'on puisse faire : le complémentaire de Y est dénombrable donc "ridiculement petit" dans [0,1] mais il n'empêche que tu est super dans la m... pour expliciter un malheureux élément de Y. Et, à mon avis, c'est pas un problème de "niveau" : quand tu voit la quantité de nombres "simples à écrire" dont on ne sait toujours pas s'ils sont transcendant ou pas...

Sinon, concernant les truc du style "quasi tout les ... sont ..." et le fait qu'on a du mal à en trouver un seul qui soit ..., est-ce que tu as un peu vu la théorie de Baire ?
Parce que, de mémoire, parmi toutes les fonctions continues de [0,1] dans R qui s'annulent au moins une fois (muni de la topo de la c.v.u), presque toutes (au sens de Baire) s'annulent une infinité non dénombrable de fois, mais l'ensemble des zéro est de mesure nulle.

[Lostounet]

Oui j'ai vu le théorème de Baire. D'ailleurs je viens de faire le lien avec les fonctions continues nulle part dérivables.
Ces fonction sont denses alors que pour en trouver une seule il a fallu attendre Hardy et Weierstrass...

[Ben314]

Par contre, là où il y a un truc que je trouve un peu bizarre, c'est au niveau de ta façon de "percevoir" les chose concernant la notion de densité : personnellement, je ne crois pas avoir jamais perçu un ensemble dense comme "gros".
Le premier exemple de densité qu'on donne est, quasi systématiquement, celui de l'ensemble des rationnels Q dans R alors que Q, il est de mesure nulle et, pire encore, il est dénombrable ce qui, à mon sens, aurait plutôt tendance à le classer dans les "ridiculement petits".
Mais bon, la façon de "percevoir" les chose, c'est chacun la sienne...

[Lostounet]

Cela peut éventuellement provenir du fait que je suis un peu plus littéraire que matheux et que donc je vois parfois des images avant de voir les concepts mathématiques hyper précis auxquels ils renvoient (c'est récurrent en topo...."frontière, séparable, dense...").

[MouLou]

T'inquiètes on est beaucoup à raisonner avec des gentils convexes compacts parce que c'est plus visuel

[Lostounet]

Salut MouLou ça fait longtemps!
Que deviens-tu?

Je me souviens encore de tes explications sur les ev normés de l'an dernier comme si c'était hier :p

[MouLou]

Salut Lostounet! Ouais ça fait pas mal de temps, j'ai un peu délaissé le forum mais je compte bien y revenir!

Je démarre ma thèse cette année .

et toi?

Je ne t'avais pas oublié non plus

[Lostounet]

Félicitations !

Moi je suis en M1 actuellement et j'essaye de comprendre des choses (merci Ben) :p
Et de donner une direction à mon parcours

Entre temps j'ai pris le poste d'admin du forum (mais là j'ai pris une pause de toutes mes responsabilités et je laisse faire les collègues modos :p).

[MouLou]

Cool! ouais on progresse bien avec Ben