Exemple d(x,F)= 0 mais x n'est pas dans F

[tist]

Bonjour,
je cherche un exemple d'un espace préhilbertien E, un sous-espace vectoriel F et un vecteur x tel que la distance de x à F soit nulle mais que x ne soit pas dans F.
Il faut nécessairement F de dimension infinie car sinon la propriété est vraie.
par ailleurs je souhaite vraiment si possible E espace préhilbertien, F un sous-ev et pas seulement une partie.
Sinon dans le cas métrique les exemples sont faciles à trouver (par ex: E=R, x=1, F= [0,1[ )
Merci si vous avez une idée!

[Ben314]

Salut,
De façon très générale (i.e. dans n'importe quel espace métrique E et pour n'importe quelle partie F de E), on a d(x,F)=0 ssi x est dans l'adhérence de F.
Donc pour qu'il existe x dans E tel que d(x,F)=0, mais x ne soit pas dans F, ben ça veut exactement dire que F doit être différent de son adhérence, c'est à dire qu'il ne doit pas être fermé (donc par exemple, ça marche avec E=R et F=[0,1[ vu que ce n'est pas un fermé de E)
Donc dans le contexte de ce que tu cherche, ça revient donc très précisément à chercher un s.e.v. F de E qui ne soit pas fermé. Et en cherchant plus spécifiquement un hyperplan F de E (et pas un s.e.v. quelconque), donc le noyau d'une forme linéaire ça revient à chercher une application linéaire f:E->R qui ne soit pas continue.

Tu aurais pas ça dans ta "boite à contre-exemples" par hasard ?

[MouLou]

Salut.

Du coup dans un premier temps tu cherches un sous-espace non fermé d'un espace pré-hilbertien.

Tu sais peut être qu'un hyperplan est fermé ssi il est le noyau d'une forme linéaire continue?

Dans ce cas comment obtenir un hyperplan non fermé? (qui sera même dense!)

Edit: Pardon Ben j'avoue ne pas avoir lu la deuxième partie de ton message...

[tist]

Bonsoir, oui bien vu ok merci je vais chercher ça dès que j'ai le temps et je reviens