Vrai ou faux exponentielle

[blackwind]

Bonjour j'ai un exercice sur lequel je bloque merci d'avance pour votre aide

Les questions suivantes portent sur f et g définies sur R tel que f(x)=x*e^-x et g(x)=x²*e^-x
On regarde leurs courbes représentatives sur une calculatrice ou autre logiciel
M est le point de Cf d' abscisse m et la tangente Tm en M à Cf coupe l'axe des ordonnées en N
Dans les questions suivantes, dites si la proposition est vraie ou fausse et justifiez
1) a) Pour tout x, f'(x)+f(x)=exp(-x)
b) Pour tout réel x , 2f'(x) 1
c) l' équation 4f(x)=1 a deux solutions distinctes
2)a) le point P de Cg d' abscisse m et N ont la méme ordonnée
b) Si H est un point de l' axe des ordonnées de coordonnées (0;h) alors on peut mener par le point H trois tangentes à Cf, si et seulement si h)]0;4/e²[

J'ai fait toutes les questions mise à part la 1)c) et la 2)b)

Pour la 1)c) j'ai déjà fait un tableau de variations et j'ai calculé les limites et je sais qu'il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires mais je ne sais pas comment faire...

[Pseuda]

Bonjour,

1)c) 4f(x)=1 si et seulement si f(x) = 1/4. C'est là où tu bloques ? Il faut chercher cette valeur dans le tableau de variation de f, intervalle par intervalle où la fonction est strictement monotone.

[blackwind]

Oui s'agit bien de ça, la fonction est continue et strictement monotone dans les intervalles ]-inf;1] et [1;+inf[ ?

[Pseuda]

Oui c'est bien ça. Et alors, quel est le nombre de solutions ? As-tu calculé f(1) ?

[blackwind]

Deux solutions une dans le premier intervalle et la deuxième dans le second intervalle

[Pseuda]

Exact.

[blackwind]

Mais comment dois-je faire pour trouver ces solutions ?

[Pseuda]

Pour la 2b, écris l'expression générale de l'équation d'une tangente à Cf au point d'abscisse a.

Ensuite, regarde sous quelle condition sur h, une tangente passe par le point de coordonnées (0 ; h).

[Pseuda]

Mais comment dois-je faire pour trouver ces solutions ?

Tu n'as pas besoin de les trouver, l'énoncé ne le demande pas. Mais si tu veux les trouver, tu peux afficher le graphe de la fonction ou utiliser le solveur d'une calculatrice.

[blackwind]

Ah d'accord, c'est tout simple alors merci

Pour la 2b:

La tangente en Cf au point d'abscisse a s'écrit:
y=f'(a)(x-a)+f(a)

et la condition est si et seulement si h appartient à ]0;4/e²[

[Pseuda]

Tu dois obtenir une équation (qui provient de t(0)=h, avec t(x)=f(a) + f'(a)(x-a) équation de la tangente), d'inconnue a et de paramètre h. Il faut étudier à quelle condition sur h cette équation a 3 solutions. Pour cela, je crois que tu dois t'aider de la fonction g.

[blackwind]

On peut dire:

La tangente en M passe en H si et seulement si:
h=e^-m(1-m)(-m)+m*e^-m=g(m)
On calcul la dérivée de g et on étudie les variations ?

[Pseuda]

Oui c'est ça, s'il n'y a pas une question précédente qui peut t'aider.

[blackwind]

Une fois que j'ai fait mon tableau de variations je fais comment pour trouver les 3 solutions avec h?

[Pseuda]

Il faut regarder en combien d'endroits la droite d'équation y=h coupe Cg, selon les valeurs de h, et à quelle condition sur h, elle la coupe en 3 endroits.

[blackwind]

Si h appartient à ]0;4/e²[ alors l'équation g(m)=h à trois solutions qui sont dans les intervalles ]-inf;0[ ; ]0;2[ et ]2;+inf[ donc il y a trois tangentes